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1、江苏省南京市2015届高考全真模拟数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,包含填空题(第1题第14题)、解答题(第15题第20题)。本卷满分160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。5.如需作图,须用2B铅笔
2、绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上1、复数等于_ _2、函数的最小正周期为_ _3、已知集合,若,则实数的取值范围是_ _4、为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:发送解密加密 明文 密文 密文 明文已知加密为为明文、为密文,如果明文“”通过加密后得到密文为“”,再发送,接受方通过解密得到明文“”,若接受方接到密文为“”,则原发的明文是_ _5、为了在运行下面的程序之后得到输出y25,键盘输入x应该是_ _Input xIf x0
3、 theny=(x+1)*(x+1)Elsey=(x-1)*(x-1)End ifPrint yEnd6、已知向量,则的最大值为_ _7、在区间,内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数 有零点的概率为_ _ 8、若函数是上的单调函数,则实数的取值范围是_ _9、设的_ _条件。10、已知在平面直角坐标系中,为原点,且(其中均为实数),若N(1,0),则的最小值是_ _11、若RtABC中两直角边为a、b,斜边c上的高为h,则,如图,在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC,PO为棱锥的高,记M=, N=,那么M、N的大小关系是M_ _N.(填、=、中的一种)12、 直线l是双曲线的右准线,以原点
4、为圆心且过双曲线的顶点的圆,被直线l分成弧长为2 : 1的两段圆弧,则该双曲线的离心率是_ _13、设x,y,z是正实数,满足,则xyz的最大值是_ _14、数列定义如下:,且当时,已知,则正整数n为_ _二、解答题(本大题6小题,共90分。解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15、(本小题满分14分,第一问7分,第二问7分。)已知是ABC的两个内角,(其中是互相垂直的单位向量),若。(1)试问是否为定值,若是定值,请求出,否则说明理由;(2)求的最大值,并判断此时三角形的形状。16、(本小题满分14分,第一问7分,第二问7分。)NMGFEDCBPAQ如图,PA、PB、PC两两垂直,PA
5、=PB=PC,G是PAB的重心,E是BC上的一点,且BE=BC,F是PB上的一点,且PF=PB求证:(1)GF平面PBC;(2)FEBC;17、(本小题满分15分,第一问3分,第二问4分,第三问8分。)如图,直角三角形的顶点坐标,直角顶点,顶点在轴上,点为线段的中点(1)求边所在直线方程;(2)为直角三角形外接圆的圆心,求圆的方程;(3)若动圆过点且与圆内切,求动圆的圆心的轨迹方程18、(本小题满分15分,第一问4分,第二问3分,第三问8分。)已知向量,(其中实数和不同时为零),当时,有,当时,(1) 求函数式;(2)求函数的单调递减区间;(3)若对,都有,求实数的取值范围19、(本小题满分1
6、4分,第一问9分,第二问5分。)如图,一科学考察船从港口O出发,沿北偏东角的射线OZ方向航行,而在离港口Oa(a为正常数)海里的北偏东角的A处共有一个供给科考船物资的小岛,其中已知.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m海里的B处的补给船,速往小岛A装运物资供给科考船.该船沿BA方向全速追赶科考船,并在C处相遇.经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时,这种补给最适宜. (1)求S关于m的函数关系式S(m); (2)应征调m为何值处的船只,补给最适宜?20、(本小题满分18分,第一问6分,第二问4分,第三问8分)已知函数,函数其中一个零点为5,数列满足,且(1)求数
7、列通项公式;(2)求S的最小值(用含有n的代数式表示);(3)设,试探究数列是否存在最大项和最小项?若存在求出最大项和最小项,若不存在,说明理由南京市2010届高考全真模拟数学试题参考答案及评分标准1、 2、 3、4、4 5、或 6、27、 8、 9、充要条件10、 11、= 12、213、 14、23815、解:,【4分】 【7分】(定值) (2)由(1)可知A、B为锐角【12分】所以的最大值为,此时三角形ABC为钝角三角形。【14分】NMGFEDCBPAQ16、证明:(1)连结BG和PG,并延长分别交PA、AB于M和D,在PBM中,PF=PB,G是PAB的重心,【4分】MG=BM,GFPM
8、又PAPB,PAPC,PA平面PBC,则GF平面PBC【7分】(2)在EC上取一点Q使CQ=BC,【9分】连结FQ,又PF=PB,FQPCPB=PC,FB=FQ【12分】BE=BC,E是BQ的中点,FEBQ,即FEBC【14分】17、(1),【3分】(2)在上式中,令,得,圆心又,外接圆的方程为【7分】(3),圆过点,是该圆的半径又动圆与圆内切,即【11分】点的轨迹是以、为焦点,长轴长为3的椭圆,【13分】,轨迹方程为【15分】18、(1)当时,由得,;(且)当时,由.得【4分】(2)当且时,由0,解得,【6分】当时,函数的单调减区间为(1,)和(,1)【8分】(3)对,都有即,也就是对恒成立
9、, 由(2)知当时,函数在和都单调递增【12分】又,当时,当时,同理可得,当时,有,综上所述得,对, 取得最大值2;实数的取值范围为.【15分】19、(I)以O点为原点,指北的方向为y轴建立直角坐标系,则直线OZ的方程为y=3x, 设点A(x0,y0),则x0=asin=3a,y0=acos=2a,即A(3a,2a), 又B(m,0),则直线AB的方程是y=, 由此得到C点坐标为, ;【9分】 (II), 当且仅当时等号成立,【13分】 答:征调海里处的船只时,补给最适宜. 【14分】20、(1)函数有一个零点为5,即方程,有一个根为5,将代入方程得,【2分】由得或由(1)知,不合舍去由得【4分】方法1:由得数列是首项为,公比为的等比数列,方法2:由-得当时-得()即数列是首项为,公比为的等比数列,-由得代入整理得【6分】(2)由(1)知 -8分对有,【8分】,即即所求S的最小值为1+n.【10分】(3)由得【12分】令,则,函数在上为增函数,在上为减函数【14分】当时,当时,当时,当时,且【16分】当时,有最小值,即数列有最小项,最小项为故当即时,有最大值,即数列有最大项,最大项为【18分】第 9 页 共 9 页