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1、江苏省南京市2015届高考全真模拟数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。5.如需作图，须用2B铅笔
2、绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上1、复数等于_ _2、函数的最小正周期为_ _3、已知集合，若，则实数的取值范围是_ _4、为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：发送解密加密 明文 密文 密文 明文已知加密为为明文、为密文，如果明文“”通过加密后得到密文为“”，再发送，接受方通过解密得到明文“”，若接受方接到密文为“”，则原发的明文是_ _5、为了在运行下面的程序之后得到输出y25，键盘输入x应该是_ _Input xIf x0
3、 theny=(x+1)*(x+1)Elsey=(x-1)*(x-1)End ifPrint yEnd6、已知向量，则的最大值为_ _7、在区间，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数 有零点的概率为_ _ 8、若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是_ _9、设的_ _条件。10、已知在平面直角坐标系中，为原点，且（其中均为实数），若N（1，0），则的最小值是_ _11、若RtABC中两直角边为a、b,斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记M=, N=,那么M、N的大小关系是M_ _N.（填、=、中的一种）12、 直线l是双曲线的右准线，以原点
4、为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是_ _13、设x，y，z是正实数，满足，则xyz的最大值是_ _14、数列定义如下：，且当时，已知，则正整数n为_ _二、解答题（本大题6小题，共90分。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15、（本小题满分14分，第一问7分，第二问7分。）已知是ABC的两个内角，（其中是互相垂直的单位向量），若。（1）试问是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由；（2）求的最大值，并判断此时三角形的形状。16、（本小题满分14分，第一问7分，第二问7分。）NMGFEDCBPAQ如图，PA、PB、PC两两垂直，PA
5、=PB=PC，G是PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=BC，F是PB上的一点，且PF=PB求证：（1）GF平面PBC；（2）FEBC；17、（本小题满分15分，第一问3分，第二问4分，第三问8分。）如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上，点为线段的中点（1）求边所在直线方程；（2）为直角三角形外接圆的圆心，求圆的方程；（3）若动圆过点且与圆内切，求动圆的圆心的轨迹方程18、（本小题满分15分，第一问4分，第二问3分，第三问8分。）已知向量，（其中实数和不同时为零），当时，有，当时，(1) 求函数式；（2）求函数的单调递减区间；（3）若对，都有，求实数的取值范围19、（本小题满分1
6、4分，第一问9分，第二问5分。）如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东角的射线OZ方向航行，而在离港口Oa（a为正常数）海里的北偏东角的A处共有一个供给科考船物资的小岛，其中已知.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船.该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇.经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给最适宜. （1）求S关于m的函数关系式S（m）； （2）应征调m为何值处的船只，补给最适宜？20、（本小题满分18分，第一问6分，第二问4分，第三问8分）已知函数，函数其中一个零点为5，数列满足，且（1）求数
7、列通项公式；（2）求S的最小值（用含有n的代数式表示）；（3）设，试探究数列是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由南京市2010届高考全真模拟数学试题参考答案及评分标准1、 2、 3、4、4 5、或 6、27、 8、 9、充要条件10、 11、= 12、213、 14、23815、解：，【4分】 【7分】（定值） （2）由（1）可知A、B为锐角【12分】所以的最大值为，此时三角形ABC为钝角三角形。【14分】NMGFEDCBPAQ16、证明：（1）连结BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，在PBM中，PF=PB，G是PAB的重心，【4分】MG=BM，GFPM
8、又PAPB,PAPC，PA平面PBC，则GF平面PBC【7分】（2）在EC上取一点Q使CQ=BC，【9分】连结FQ，又PF=PB，FQPCPB=PC，FB=FQ【12分】BE=BC，E是BQ的中点，FEBQ，即FEBC【14分】17、（1），【3分】（2）在上式中，令，得，圆心又，外接圆的方程为【7分】（3），圆过点，是该圆的半径又动圆与圆内切，即【11分】点的轨迹是以、为焦点，长轴长为3的椭圆，【13分】，轨迹方程为【15分】18、（1）当时，由得，；（且）当时，由.得【4分】（2）当且时，由0,解得，【6分】当时，函数的单调减区间为（1，）和（，1）【8分】（3）对，都有即，也就是对恒成立
9、， 由（2）知当时，函数在和都单调递增【12分】又，当时，当时，同理可得，当时，有，综上所述得，对， 取得最大值2；实数的取值范围为.【15分】19、（I）以O点为原点，指北的方向为y轴建立直角坐标系，则直线OZ的方程为y=3x， 设点A（x0，y0），则x0=asin=3a，y0=acos=2a，即A（3a，2a）， 又B（m，0），则直线AB的方程是y=， 由此得到C点坐标为， ；【9分】 （II）， 当且仅当时等号成立，【13分】 答：征调海里处的船只时，补给最适宜. 【14分】20、（1）函数有一个零点为5，即方程，有一个根为5，将代入方程得，【2分】由得或由（1）知，不合舍去由得【4分】方法1：由得数列是首项为，公比为的等比数列，方法2：由-得当时-得（）即数列是首项为，公比为的等比数列，-由得代入整理得【6分】（2）由（1）知 -8分对有，【8分】，即即所求S的最小值为1+n.【10分】（3）由得【12分】令，则，函数在上为增函数，在上为减函数【14分】当时，当时，当时，当时，且【16分】当时,有最小值，即数列有最小项，最小项为故当即时，有最大值，即数列有最大项，最大项为【18分】第 9 页 共 9 页
