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1、8-6构造与论证教学目标1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2. 利用基本染色去解决相关图论问题知识点拨知识点说明各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问
2、题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色知识点拨板块一、最佳安排和选择方案【例 1】 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填“黑”或者“白”)【解析】 在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其
3、中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子【巩固】 在黑板上写上、，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数和，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【解析】 根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为是一个偶数，而每一次“操作”，将、两个数变成了，它们的和减少了，即减少了一个偶数那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，
4、那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数【例 2】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第l卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第l卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第l卷和第2卷对调即可所以，共需调换4+3+2+1=10次【巩固】 在19971997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮按钮每按一次，与它同一行和同一列方格
5、中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【解析】 最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态【例 3】 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子问能
6、否做到：、(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【解析】 (1)可以，如(1989，989，89) (1900，900，0)(950，900，950)(50，0，50)(25，25，50)(O，0，25)(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走【巩固】 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、2009然后将每一张
7、卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【解析】 从整体进行考虑所得的2009个和相加，便等于12009的所有数的总和的2倍，是个偶数2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数本题也可以考虑其中的奇数由于12009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数【例 4】 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名
8、选手都要比赛一场为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【解析】 当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业
9、选手，得10+2+2-2=12(分)此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，343=11，推知，必有人得分不超过11分. 也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【例 5】 n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【解析】 （1）我们知道4个队共进行了场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和
10、为2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=1412，不满足.即n=4不可能。（2）我们知道5个队共进行场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为2=20.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以5个队得分最少为2+3+4+5+6=20，满足.即n=5有可能.但是我们必须验证是否存在实例.如下所示，A得2分，C得3分，D得4分，B得5分，E得6分.其中“AB”表示A、B比赛时，A胜B；“B-C”表示B、C比赛时，B平C，余下类推.【例 6】 如图35-1，将1，
11、2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图. 【解析】 要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的 因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5(1+2+3+10)=275 每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275，整数M大于28下面来验证M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是
12、相问排列，也就是说数组每隔4个差值为l，这样从1填起，容易排出适当的填图.【例 7】 （2009年清华附中入学测试题）如图，在时钟的表盘上任意作个的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数并举一个反例说明，作个扇形将不能保证上述结论成立【解析】 要在表盘上共可作出12个不同的扇形，且112中的每个数恰好被4个扇形覆盖将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇形，必有个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆盖整个表盘另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4
13、个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘【巩固】 （2008年台湾小学数学竞赛选拔赛）将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，然后把圆周上连续三个数之和写下来，则可以得到六个数、，将这六个数中最大的记为请问在所有填写方式中，的最小值是什么？【解析】 要由于每个写在圆周上的数都被用了三次，则，即写出来的这6个数的平均数为，因此至少为11由上图的排列方式可知为11的情形存在，故的最小值为11【例 8】 1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人
14、的号码的乘积那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?【解析】 我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处?考虑到44的平方为1936，所以去到44就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘式中最小的数一定小于等于44，所以可以保证剩下的构不成乘式因为对结果没有影响，所以可以将1保留，于是去掉2，3，4，44这43个数但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢?构造297，396，495，4445，发现这43组数全不相同而且结果都比1998小，所以要去掉这些乘
15、式就至少要去掉43个数，所以43位最小值，即为所求.【例 9】 一组互不相同的自然数，其中最小的数是l，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和.问：这组数之和的最小值是多少?当取到最小值时，这组数是怎样构成的?【解析】 首先把这组数从小到大排列起来，那么最小的肯定为1，1后面只能是1的2倍即2，2后面可以是3或4，3的后面可以是4，5，6；4的后面可以是5，6，8最大的为25下面将所有的可能情况列出：l，2，3，4，25所有的和是35；l，2，3，5，25所有的和是36；1，2，3，6，25所有的和是37；1，2，4，5，25所有的和是37；1，2，4，6，25所有的和是38；1，2，4，8，25所有的和是40.25是奇数，只能是一个偶数加上一个奇数在中间省略的数中不能只有1个数，所以至少还要添加两个数，而且这两个数的和不能小于25，否则就无法得到25这个数要求求出最小值，先看这两个数的和是25的情况，因为省略的两个数不同于前面的数，所以从20+5开始25
