《中考数学辅导之—直线和圆的位置关系(二)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学辅导之—直线和圆的位置关系(二)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中考数学辅导之直线和圆的位置关系(二)一、 学习目标1、 理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题。2、 理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，并会运用它们解决有关问题，通过弦切角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法。3、 能结合具体图形，准确地表述相交弦定理、切割线定理及其推论的题设和结论，并能应用它们解有关的计算和证明题，会作两条线段的比例中项。二、 基本内容及应注意的问题1、 “切线长”是切线上一条线段的长度，具有数量的特征；而“切线”是一条直线，它是向两方无限延展的，不可以度量长度。2、 切线长定理包含两个结论，如图(1)所示，PA、PB切O于点A、B
2、，则有：(1) “切线长相等”，即PAPB。(2) “圆心和这点的连线平分两切线的夹角”，即：PO平分；根据PA=PB，PO平分，可得点A、B关于直线OP对称，从而有OP垂直平分AB、以及等结论，由此可得，切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例，垂直关系的重要依据。3、 讲过切线长定理以后，已知一条切线时，通常有如下五个性质可用：(1) 切线和圆有且只有一个公共点；(2) 切线和圆心的距离等于该圆的半径；(3) 切线垂直于过切点的半径；(4) 经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5) 经过切点垂直于切线的直线必过圆心。若已知一个圆的两条切线相交，则又多了“切线长相等”的性质；若已
3、知一个圆的两条切线互相平行，则可得出“圆上两个切点的连线为直径”的性质。4、 弦切角有两个基本特征：(1) 顶点在圆上，实际上就是角的顶点是圆的一条切线的切点；(2) 一边和圆相交，另一边和圆相切，实际上就是角的一边是过切点的一条弦（所在的直线），角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。5、 弦切角定理与圆周角定理的证明思路类似，都分三种情况，而且在证明过程中利用了圆周角的推论。在学习时一定要注意与圆周角定理对比，注意它们的内在联系。弦切角是与圆有关的又一种角，要能在图形中准确地识别，并能正确应用弦切角定理及其推论。它给我们提供了证明角相等、弧相等的又一种方法。6、 相交弦定理揭示了圆内两条
4、相交弦被交点分成的两条线段的长度之间的关系。其推论是把圆内两条相交弦的位置特殊化两弦中的一条是直径，另一条是与直径垂直的弦。利用这个推论，可以作两条已知线段的比例中项。7、 切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线，切线长和这点到割线与圆的交点的两条线段的长之间的关系。其推论通常又称为割线定理，它和切割线定理的关系非常密切。应用时要注意定理的条件和结论。8、 相交弦定理、切割线定理以及它们的推论，在计算和证明中应用非常广泛，学习定理时要注意结合图形来弄清定理中所指的是哪几种线段。三、 例题例1：如图(2)所示，中，以AB为直径的O交BC于点D，切线DE交AC于E。求证：分析：连结AD，则，要
5、证，只需证AE=EC。证明：连结AD AE为O的切线 EA=ED DE为O的切线 AB为O的直径 DE=EC DE=EA=EC EA=ED例2、 如图(3)所示，PA、PB是O的切线，A、B为切点，PQOQ于Q，交AB于M求证：OA2=OMOQ证明:连结OP交AB于NPA、PB是O的切线 PA=PB OPAB OP平分APB PA切O于A OAPAOANOPAOA2=OPONPQOQ,OPABQ=ONM=90ONOM=QOP OMNOPQONOP=OMOQ OA2=OPON OA2=OMOQ注:遇到从一点出发的两条切线,常想到切线长定理及图(1)所示的基本图形，这个基本图形中隐含了等腰三角形，
6、全等三角形，相似三角形等条件。例3：已知，AB为O的直径，过B点作O的切线BC，OC交O于点E，AE的延长线交BC于D。(1) 求证：CE2=CDCB；(2) 若AB=BC=2，求CE、CD的长。分析：要证CE2=CDCB，只需证：CEDCBE。证明：(1)连结BE，BC是O的切线CBE=AOA=OEA=OEA CBE=CED OEA=DEC C=CCBECED；(2) BC为O的切线 AB为直径 ABD=90OAB=2OB=1 OC=CE=-1； BC=2 OE=1 又CE2=CDCB，CB=2(-1)2=2CD 则:CD= 即：CD、OE的长分别为()和(-1)。注：有切线，并需寻找角的关
7、系时，常添辅助线，从而为利用弦切角定理创造条件。例4：如图(5)所示，O是的外接圆，的平分线CE交AB于D，交O于E，O的切线EF交CB的延长线于F。求证：AE2=ADEF分析:连结BE，由可得：AE=BE，所以，要证AE2=ADEF，只需证证明：连结BE，CE平分=AE=BE=EBD=ECB EBF=BEC+ECB EF为切线 AE2=ADEF AE=BE例5：如图(6)所示，1与2相交于点M、N，直线AE与1，2及MN顺次相交于点A，B，C，D，E。求证:ABCD=BCDE证明：由相交弦定理可得： 在1中:ACCD=MCNC ACCD=ECBC 在2中:ECBC=MCNC(AB+BC)CD
8、=(CD+DE)BCABCD+BCCD=CDBC+BCDEABCD=BCDE。注：公共弦MN是沟通两个圆的线段关系的“桥梁”。例6：如图(7)PA切于点A，PBC为的割线,PQ=PA，QB的延长线交于E，QC的延长线交圆于点F。求证：(1)(2)PQEF分析：有切线、割线，易联想到切割线定理，故有：AP2=PBPC，因PQ=PA，所以PQ2=PBPC，将此式改为比例式，再加上公共角BPQ，易证。由三角形相似，可得角的相等关系，从而为证EFPQ创造了条件。证明：AP为O的切线 AP2=PBPC PBC为O的割线 PQ2=PBPC PQ=AP PBQPQCPQB=PCQ BPQ=QPC PQB=E
9、EFPQ四边形EFCB为圆内接四边形PCQ=E注：若将条件PQ=PA与结论PQEF交换，命题还成立吗？请同学们自己证明。例7：如图(8)所示，ABC内接于O，DA切O于点A，BC的延长线交AD于点D。求证：分析：由条件知：这是相似三角形的一种基本图形，易得ADCBDA，从而得：CA/AB=CD/AD=AD/DB，将此例式CA/AB=CD/AD (或)两边平方,就符合结论的形式，再利用切割线定理的结论进行代换，命题就能得证。证明：AD为O切线DAC=B DACDBA D=DAD为O的切线 AD2=DCDB 。BCD为O的割线注：本题还可以运用面积法来证明。四、 练习及作业： (1)已知PA、PB
10、分别切O于A、B，C是劣弧上任意一点，过E作O的切线和PA、PB分别交于D、E，若OP=5，O半径为3，则的周长为（ ）A 4 B8 C9 D不确定 (2)圆外切四边形一组对边和为12，圆的半径为2，则这个四边形的面积为（ ）A 6 B12 C24 D48(3) 外心、内心、垂心、重心这四心重合的三角形是（ ）A 任意三角形 B直角三角形 C等腰三角形D等边三角形 (4)AB、AC分别切圆于B、C，B、C两点分圆所得两弧比为1:2，则A的度数为（ ）A 45O B90O C60O D120O(5) AB、AC分别切O于B、C，BC交OA于D，连结OB、OC，则圆中的直角三角形共有（ ）个A 3
11、 B4 C5 D6 (6)AB切O于B，ACD是过O点的割线,且A=50O，则的度数为（ ）A 50 B140 C90D280 (7)过O外一点P引圆的两切线PA、PB，A、B是切点，P=90，OP=4，则O半径的长为（ ）A 4 B8 C D (8)O的直径是AB，弦CDAB于P，且CD=8，BP=2，则O的半径为（ ）A 3 B4 C5 D10 (9)BC是O的直径，P是BC延长线上一点,且PC=OC，PA是O的切线，且PA3，则O半径为（ ）A 3 B6 C D2 (10)O是ABC的直径，P是BC延长线上一点,且PC=OC，PA是O的切线，且PA=3，则O半径为 ( )A 40O B140O C80O D70O五、 答案与提示：1 B2C 3D 4C5D6B7C8C9C10D
