《2020年高一数学知识讲学(必修5)专题11二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(深度精讲)（含答案解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高一数学知识讲学(必修5)专题11二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(深度精讲)（含答案解析）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019-2020学年高一数学知识讲学（必修5）专题11二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【知识导图】【目标导航】1.知道二元一次不等式的几何意义；2会画二元一次不等式表示的平面区域；3能用平面区域表示二元一次不等式组.4.知道线性规划的意义，掌握有关概念术语，能正确利用图解法中的求解程序，解决线性规划问题；5能用线性规划知识解决一些简单的实际问题.【重难点精讲】重点一、二元一次不等式(组)(1)定义：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组(2)解集：满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对
2、(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集有序数对可以看成是直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标内的点构成的集合重点二、平面区域(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域，直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域，直线AxByC0称为这个平面区域的边界.这时，在平面直角坐标系中，把直线AxByC0画成虚线，以表示区域不包括边界；而不等式AxByC0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.(2)判断方法：只需在直线AxByC0的同一侧取某个特殊点(x
3、0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号就可以断定AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域特别地，当C0时，常取原点(0,0)作为测试点；当C0时，常取(0,1)或(1,0)作为测试点重点三、线性规划中的基本概念名称意义约束条件变量x，y满足的一组条件线性约束条件关于x，y的二元一次不等式目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式线性目标函数目标函数是关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题重点四、线性规划常用来解决下列问题：
4、(1)给定一定数量的人力、物力、资金等资源，怎样安排运用这些资源，才能使完成的任务量最大，收到的效益最大(2)给定一项任务，怎样统筹安排，才能使完成这项任务的人力、资金、物力资源最小.常见问题有：物资调运、产品安排、下料等问题重点五、最优解常转化为由目标函数得到的直线到原点距离的最值来考虑(到原点距离最大(小)，一般等价于纵截距最大(小)【典题精练】考点1、二元一次不等式表示的平面区域例1【四川省攀枝花市2018-2019学年高一下学期期末】已知点及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内，则实数的取值范围是_【答案】【解析】根据题意，设与关于原点的对称，则的坐标为，若、均在不等式表示的平
5、面区域内，则有，解可得：，即的取值范围为，；故答案为，考点点睛：由于在直线AxByC0的同一侧的所有点(x，y)，使实数AxByC的符号相同，所以只须在此直线的某侧任取一点(x0，y0)，把它的坐标代入AxByC，由其值的符号即可判断AxByC0(或0)表示直线的哪一侧，当C0时，常把原点作为此特殊点考点2、二元一次不等式组表示的平面区域例2画出下列不等式（组）表示的平面区域：（1）.（2）.（3）（4）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析；（4）详见解析.【解析】（1）画出平面区域如下图所示：（2）画出平面区域如下图所示：（3）画出平面区域如下图所示：（4）原不等式等价于
6、或.故画出平面区域如下图所示：考点点睛：1.在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可其步骤为：画线；定侧；求“交”；表示2要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0By0C的正负判断考点3、用二元一次不等式组表示已知平面区域例3如图，在中，已知点.写出区域所表示的二元一次不等式组.【答案】【解析】阴影部分在直线的左下方，故；在直线的右上方，故；在直线的右下方，故.所以二元一次不等式组为.故填：.考点点睛：已知平面区域，用不等式(组)表示，其一般步骤是求出边界的直线方程；确定不等号，
7、从平面区域内不在所有直线上的点中任取一点，将其坐标代入直线方程判断符号确定不等号考点4、求线性目标函数的最值问题例4【2019年天津市高考数学】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A2B3C5D6【答案】C【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值由，得，所以故选C考点点睛：(1)解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界线交点处或边界线上取得在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点(2)要注意直线斜率的大小考点5、简单的线性规划中的整数解例5求满足的整
8、点的个数.【答案】25【解析】当时，不等式，即表示的区域是直线有原点的一侧（即与轴正半轴围成的区域）.利用对称性，不等式表示的区域是4条直线，所围成的正方形（包括边界）.当时，整点在x轴上，从点到点共7个；当时，整点从点（-2，1）到点共5个；同理，当时，整点有3个；当时，整点有1个，根据对称性，满足的整点个数为：.考点点睛：在求解最优解为整数点的题型时，若最优解不在直线的交点处，应考虑可行域中距离邻近最优解的边界线附近的整点，比较后作出正确的解答考点6、非线性目标函数的最值问题例6已知、满足约束条件.（1）求目标函数的最大值与最小值；（2）求目标函数的最大值与最小值；（3）求目标函数的取值范
9、围；（4）求目标函数的取值范围.【答案】（1）最大值，最小值；（2）最大值，最小值；（3）；（4）.【解析】解约束条件中不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）为可行域.（1）由图可知，当直线，即直线过点时，该直线在轴上的截距最大，此时，取最大值，当直线过点时，该直线在轴上的截距最小，此时，取最小值；（2）由图可知，当直线，即直线过点时，该直线在轴上的截距最大，此时，取最大值，当直线过点时，该直线在轴上的截距最小，此时，取最小值；（3）设点，则表示可行域内任一点到原点距离的平方.由图可知，其最大值为.直线的斜率为，直线的斜率为，故其最小值为，因此，的取值范围为；（4）令点，则表示可行
10、域内任一点与点连线的斜率.当直线过点时，此时直线的倾斜角取得最小值，此时，取最小值，当直线过点时，此时，直线的倾斜角最大，此时，取最大值，因此，的取值范围是.考点点睛：求非线性目标函数的最值，要注意分析充分利用目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系考点7、已知目标函数的最值求参数例7设，其中实数、满足，若的最大值为，求实数的值.【答案】【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图所示，阴影部分（包括边界）.由，得，可知为直线在轴上的截距.由图象可知，当直线经过点和可行域的顶点时，直线在轴上的截距取到最大值，此时，因此，.考点8、收益最大问题(利润、收入、产量等)例8某化肥厂生产甲、
11、乙两种混合肥料，需要三种主要原料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如表所示：现有种原料 200 吨， 种原料 360 吨，种原料 300 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元. 分别用表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润原料肥料甲483乙5510【答案】（1）见解析；（2）最大利润为112万元【解析】（1）解：由已知，满足的数学关系式为
12、，该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图中的阴影部分：（图 1）（2）解：设利润为万元，则目标函数为.考虑z=2x+3y，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大.解方程组，得点的坐标为，所以.答：生产甲种肥料车皮、乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元.（图 2）考点点睛：解答线性规划应用题的一般步骤：(1)审题仔细阅读，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来处理(2
13、)转化设出未知量，由条件列出约束条件确立目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题(3)作图作出可行域，求出可行域边界点的坐标(4)求解利用图形法求出最优解和最值(5)作答就应用题提出的问题作出回答几个注意点：(1)列不等式组时，要特别注意表达不等关系的词语(如不超过，不大于，最少等)；(2)平移直线时，特别注意斜率大小与直线的倾斜程度，准确找出最优解对应直线的位置；(3)将求解得到数学结论转化为实际问题的结论考点9、耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题例9已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年
14、最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨要使总运费最少，煤矿应怎样编制调运方案？【答案】甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少【解析】设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费zx1.5(200x)0.8y1.6(300y)(万元)，即z7800.5x0.8y.x、y应满足作出上面的不等式组所表示的平面区域如图所示设直线xy280与y轴的交点为M，则M(0,280)，把直线l：0.5x0.8y0向上平移至经过点M时，z的值最小点M的坐标为(0,280)，甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少考点点睛：求最优解时，常常要考虑直线的位置，精确作图又比较麻烦，这时可通过比较直线的斜率来判断其位置
