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1、第9章多元函数微分法 及其应用 2 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 9 6多元函数微分学的 几何应用 全微分的几何意义 小结思考题 第9章多元函数微分法及其应用 一元向量值函数及其导数 引言 在多元函数部分 我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切线和空间曲面的切平面 在一元函数微分学中 我们可以利用导数确定曲线上某点处的切线斜率 并求出其切线和法线方程 设空间曲线 的参数方程为 一 一元向量值函数及其导数 若记 则 方程成为 1 一元向量值函数的定义 其中D叫函数的定义域 t为自变量 r叫因变量 说明 1 向量值函数是数量值函数的推广 2 在R3中 若向量值函数的三个分量依次为f1
2、t f2 t f3 t 则可表示为 3 向量值函数的图像 设向量r的起点在坐标原点 则终点M随t的改变而移动 点M的轨迹称为向量值函数r f t 的终端曲线 也称为该函数的图像 记作 反过来 向量值函数 称为曲线 的向量方程 2 一元向量值函数的极限 说明 计算方法 等价条件 3 一元向量值函数的连续性 说明 1 向量值函数连续等价于它的分量函数都连续 2 若在某个区域内每一点都连续 则称该函数是该区域上的连续函数 4 一元向量值函数的导数 记作 说明 1 向量值函数可导等价于它的分量函数都可导 且 2 若在某个区域内每一点都可导 则称该函数是该区域上的可导函数 3 向量值函数的导数与数量值函
3、数的导数运算法则形式相同 教材P92 4 向量值函数导向量的几何意义 得切线的方向向量 结论 注意 该切向量指向与t的增长方向一致 5 向量值函数导向量的物理意义 小结 求向量值函数的极限 各分量取极限 求向量值函数的导数 各分量求导数 例 解 例 解 所求单位切向量一个是 其指向与t的增长方向一致 另一个是 其指向与t的增长方向相反 17 设空间曲线的方程 1 式中的三个函数均可导 1 空间曲线的方程为参数方程 二 空间曲线的切线与法平面 18 考察割线趋近于极限位置 上式分母同除以 割线的方程为 切线的过程 19 曲线在M处的切线方程 切向量 法平面 切线的方向向量称为曲线的切向量 过M点
4、且与切线垂直的平面 平面的点法式方程 20 解 切线方程 法平面方程 例 即 21 设曲线直角坐标方程为 法平面方程为 2 空间曲线的方程为 曲线的参数方程是 由前面得到的结果 在M x0 y0 z0 处 令 切线方程为 x为参数 两个柱面 的交线 22 例在抛物柱面与的交线上 x为参数 于是 解 所以交线上与 对应点的切向量为 交线的参数方程为 取 求对应的点处的切向量 23 设空间曲线方程为 3 空间曲线的方程为 确定了隐函数 此曲线方程仍可用方程组 表示 两个曲面 的交线 利用2 结果 切线方程为 法平面方程为 在M x0 y0 z0 处 两边分别对 x求导 下面求出 24 利用2 结果
5、 两边分别对 x求全导数 25 法平面方程为 切线方程为 在点M x0 y0 z0 处的 26 解 例 切线方程和法平面方程 法一 直接用公式 令 代入公式 得切线方程 令 27 代入公式 得法平面方程 法平面方程公式 28 切线方程 解 将所给方程的两边对x求导 得 法平面方程 例 切线方程和法平面方程 推导法 法二 即 29 设曲线 练习 证 因原点 0 0 0 在法平面上 即 于是 证明此曲线必在以原点为中 的法平面都过原点 在任一点 心的某球面上 曲线过该点的法平面方程为 故有 任取曲线上一点 30 今在曲面 上任取一条 1 设曲面 的方程为F x y z 0的情形 隐式方程 三 曲面
6、的切平面与法线 函数F x y z 的偏导数在该点连续且不同 点M对应于参数 不全为零 过点M的曲线 设其参数 方程为 时为零 过点M的曲线 过点M的曲线 31 由于曲线 在曲面 上 所以 在恒等式两端对t求全导数 并令 则得 若记向量 曲线 在点M处切线的方向向量记为 则 式可改写成 即向量 垂直 32 因为曲线 是曲面 上过点M的任意一条 所有这些曲线在点M的切线都与同一向量 垂直 因此这些切线必共面 称为曲面 在点M的 过点M且垂直于切 法线 又是法线的方向向量 向量 称为曲 法向量 切平面 由切线形成的这一 平面 平面的直线称为曲面 在 点M的 面 在点M的 曲线 33 曲面在M x0
7、 y0 z0 处的法向量 切平面方程为 法线方程为 所以曲面 上在点M的 34 解 令 切平面方程 法线方程 例 35 上求一点的坐标 使此点处的切平面平行于yOz平面 解 设所求点为 x y z 则切平面的法向量为 练习 由题意 由此得 所求之点 36 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 或 显式方程 2 曲面方程形为z f x y 的情形 37 例 证 则法向量为 切平面方程为 设 x0 y0 z0 是曲面上任一点 38 所以这些平面都过 原点 39 考研数学 一 3分 的切平面的方程是 练习 解 则法向量为 切平面方程为 即 平行 设 x0 y0 z0 是曲面上一点 4
8、0 例 证 的所有切平面都与一常向量平行 则曲面在任一点处的法向量 则 即 所以 所有的切平面均与 平行 取 41 3 曲面方程为参数方程的情形 u v为双参变量 求 u0 v0 对应的点M0 x0 y0 z0 处的法向量 固定v v0 让u变 它在M0处的切向量为 曲面 的参数方程为 得到曲面 上一条所谓的u 曲线 双切线法 42 u v为双参变量 求 u0 v0 对应的点M0 x0 y0 z0 处的法向量 它在M0处的切向量为 曲面 的参数方程为 同样 固定u u0 让v变 得到另一条所谓的v曲线 曲面 的法向量 同时与 垂直 故有公式 双切线法 43 例 求马鞍面 对应点处的切平面方程
9、解 u 1 得曲线 即 v 1 它们在点 u v 1 1 处的切向量分别为 在曲面上分别令 切平面的法向量为 切平面方程为 双切线法 44 例 求马鞍面 对应点处的切平面方程 解 将每个方程的两端求微分 得 切平面方程为 全微分法 45 令 解 切线方程和法平面方程 垂直于 曲线在点 例 当空间曲线方程为一般式时 求切向量曾采用了推导法 处切线向量 再用向量代数法做此题 应同时 46 令 切线方程和法平面方程 例 47 切线方程和法平面方程 解 双切平面法 由于两曲面的交线的切线等 于两曲面的切平面的交线 所以求出两曲面在点P0 处的切平面方程 再将两切平面方程联立即为所求 48 一元函数微分
10、的 如图 四 全微分的几何意义 对应的增量 增量时 当 y是曲线的纵坐标 dy就是切线纵坐标 回忆 几何意义 49 因为曲面在M处的切平面方程 全微分的几何意义 表示 平面上的点的竖坐标的增量 切平面上点的竖坐标的增量 曲面z f x y 在点 x0 y0 z0 处的切 z f x y 在点 x0 y0 的全微分 曲面z f x y 函数z f x y 在点 x0 y0 的全微分 50 其中 法向量 表示曲面的法向量的方向角 并假定法向量的方向是向上的 即使得它与 z轴的正向所成的角 是锐角 则法向量的 方向余弦为 51 思考 求旋转抛物面 因为 第三个分量为负 解 而 为向下的法向量 故向上
11、的法向量应为 在任意点 在任意点P x y z 处向上的法向量 即与z轴夹角为 锐角的法向量 52 研究生考题 填空 3分 解 令 练习 的旋转面在点 处的指向外侧的单位 法向量为 旋转面方程为 53 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 小结 注意 向量的方向余弦的符号 当空间曲线方程为一般式时 采用推导法 向量代数法或用双切面法 求法平面可 空间曲面三种不同形式方程以及求法 54 思考题 思考题解答 证 两边对t求导 得 设F x y z 具有连续偏导数 且对任意实数t 有 试证曲面 55 设 x0 y0 z0 是曲面上任一点 则过这点的 切平面为 这说明曲面上任一点的切平面皆相交于原点
