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1、 定积分的元素法 一 什么问题可以用定积分解决 二 如何应用定积分解决问题 表示为 一 什么问题可以用定积分解决 1 所求量U是与区间 a b 上的某函数f x 有关的 2 U对区间 a b 具有可加性 即可通过 分割 近似 求和 取极限 定积分定义 一个整体量 二 如何应用定积分解决问题 第一步利用 化整为零 以常代变 求出局部量的 微分表达式 第二步利用 积零为整 无限累加 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法成为元素法 或微元法 近似值 精确值 四 旋转体的侧面积 三 已知平行截面面积函数的立体体积 一 平面图形的面积 二 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 一 平面图形的面积 1
2、 直角坐标情形 设曲线 与直线 及x轴所围曲 则 边梯形面积为A 右图所示图形面积为 例1 计算抛物线 与直线 的面积 解 由 得交点 所围图形 为简便计算 选取y作积分变量 则有 例2 求椭圆 解 利用对称性 所围图形的面积 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当a b时得圆面积公式 例3 求由摆线 的一拱与x轴所围平面图形的面积 解 2 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 对应 从0变 例4 计算阿基米德螺线 解 到2 所围图形面积 例5 计算心形线 与圆 所围图形的面积 解 利用对称性
3、 所求面积 二 平面曲线的弧长 当折线段的最大 边长 0时 折线的长度趋向于一个确定的极限 即 并称此曲线弧为可求长的 定理 任意光滑曲线弧都是可求长的 则称 1 曲线弧由直角坐标方程给出 弧长元素 弧微分 因此所求弧长 2 曲线弧由参数方程给出 弧长元素 弧微分 因此所求弧长 3 曲线弧由极坐标方程给出 因此所求弧长 则得 弧长元素 弧微分 例6 求连续曲线段 解 的弧长 例7 计算摆线 一拱 的弧长 解 三 已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x轴的截面面积为A x 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续 特别 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时 有
4、 当考虑连续曲线段 绕y轴旋转一周围成的立体体积时 有 柱壳体积 说明 柱面面积 以摆线为例 例8 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并 与底面交成 角 解 如图所示取坐标系 则圆的方程为 垂直于x轴的截面是直角三角形 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 四 旋转体的侧面积 设平面光滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 取侧面积元素 侧面积元素 的线性主部 若光滑曲线由参数方程 给出 则它绕x轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积 S的 注意 侧面积为 例9 计算圆 x轴旋转一周所得的球台的侧面积S 解 对曲线弧 应用公式得 当球台高h 2R时 得球的表面积公式 例10 求由星形线 一周所得的旋转体的表面积S 解 利用对称性 绕x轴旋转 内容小结 1 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2 平面曲线的弧长 曲线方程 参数方程 极坐标方程 弧微分 直角坐标方程 上下限按顺时针方向确定 直角坐标方程 注意 求弧长时积分上下限必须上大下小 3 已知平行截面面面积函数的立体体积 旋转体的体积 绕x轴 4 旋转体的侧面积 侧面积元素为 注意在不同坐标系下ds的表达式 绕y轴 柱壳法
