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1、博文教育专用试题简单的线性规划问题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1若实数x,y满足约束条件x+y40xy40x0，则z=2x+y的最大值为（ ）A. -4 B. 0 C. 4 D. 82已知变量x，y满足约束条x-y1x+y12x-y4，则z=3x+y的最大值为()A. 2 B. 6 C. 8 D. 113设变量x,y满足约束条件x+y5,2xy4,x+y1,y0, 则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A. 6 B. 19 C. 21 D. 454已知动点x,y满足2x+y40x+2y50x0y0，则z=5x+2y的最大值是（ ）A. 50 B. 60 C. 70 D. 905设
2、变量x,y满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )A. 6 B. 19 C. 21 D. 456已知实数x,y满足x+y40y3xy0，则z=y1x+1的最大值为（ ）A. 1 B. 12 C. 13 D. 2二、填空题7若变量x、y满足约束条件y2x+y0xy20，则z=x2y的最大值为 _.8已知变量满足约束条件，则的最小值为_9已知实数x，y满足xy10x+y504x+y80，则z=4x+y的最大值为_10若x，y满足约束条件xy0x+y20y0，则z=3x4y的最小值为_11设变量x,y满足约束条件2x+y0,x+2y-20,x0,y3,则目标函数z=x+y的最大值为_.12设整数x
3、,y满足约束条件x+2y502x+y70x0,y0，则目标函数z=3x+4y的最小值为_13设实数x,y满足约束条件x0y04x+3y12，则y+2x+1的取值范围是_.参考答案1D【解析】分析：由已知线性约束条件，作出可行域，利用目标函数的几何意义，采用数形结合求出目标函数的最大值。详解：作出不等式组所对应的平面区域（阴影部分ABC），令z=0，则y=2x，表示经过原点的直线，由z=2x+y有y=2x+z，当此直线的纵截距有最大值时，z有最大值，由图知，当直线经过A点时，纵截距有最大值，由x+y4=0xy4=0有x=4y=0，即A(4,0)，此时z=24+0=8，选D.点睛：本题主要考查了简
4、单的线性规划，考查了数形结合的解题方法，属于中档题。2D【解析】分析：先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z=3x+y的最大值即可详解：作出变量x，y满足约束条件x-y1x+y12x-y4的可行域如图，由z=3x+y知，y=3x+z，所以动直线y=3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值由xy=12xy=4 得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z=33+2=11故选：D点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ax+by型）
5、、斜率型（y+bx+a型）和距离型（x+a2+y+b2型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.3C【解析】分析：先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值详解：由变量x，y满足约束条件x+y5,2x-y4,-x+y1,y0,，得如图所示的可行域，由x+y=5x+y=1解得A（2，3）当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值将其代入得z的值为21，故答案为：C点睛：（1）本题主要考查线性规划问题，意在考查学生
6、对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，z就最小，要看函数的解析式，如：y=2xz,直线的纵截距为z,所以纵截距z最小时，z最大.4D【解析】分析：先作可行域，根据图像确定目标函数所代表直线取最大值时得最优解.详解:作可行域，根据图像知直线z=5x+2y过点A(10,20)时z取最大值90，选D,点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5
7、C【解析】分析：作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解详解：作出可行域，如图四边形ABCD内部（含边界），作直线l:3x+5y=0，向上平移直线l时z增大，因此当l过点D(2,3)时，z取最大值32+53=21故选C点睛：本题考查简单的线性规划，解题时只要作出可行域，再作出目标函数对应的直线，然后平移该直线可得最优解6A【解析】分析: 作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可详解: 作出不等式组对应的平面区域如图，z的几何意义是区域内的点到定点P（1，1）的斜率，由图象知当直线过B（1,3）时，直线斜率最大，此时直线斜率为1，则z=y-1x+1
8、的最大值为1，故选：A点睛: 本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.73【解析】分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.详解：画出可行域，如图：z=x2yy=12x12z，由图可知，当直线y=12x12z经过点A1,1时，z最大，且最大值为zmax=121=3.故答案为：3.点睛：本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利
9、用几何意义求最值，是基础题.84【解析】分析：画出可行域，将z=2x+y变形为y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图可知当直y=2x+z经过点1,2时，直线在y轴上的截距最小，从而可得结果.详解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由3xy+1=0xy1=0，解得x=1y=2，即A1,2，由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A1,2时，直线y=2x+z在y轴上的截距最小.将A1,2的坐标代入目标函数z=2x+y可得z=212=4，即z=2x+y的最小值为4，故答案为4.点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简
10、单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.914【解析】分析：画出可行域，平移直线y=-4x，即可得到最大值.详解：画出可行域如图所示，可知当目标函数z=4x+y经过点B3,2时取得最大值，最大值为zmax=43+2=14. 即答案为14.点睛：本题考查利用线性规划解决实际问题，属中档题.101. 【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x4y的最小
11、值详解：由z=3x4y，得y=34xz4，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=34xz4，由平移可知当直线y=34xz4，经过点B（1，1）时，直线y=34xz4的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x4y=34=1，即目标函数z=3x4y的最小值为1故答案为：1点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.113.【解析】分析：首
12、先根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，结合目标函数z的几何意义，求得其最优解，代入求得函数的最大值.详解：变量x,y满足约束条件2x+y0,x+2y-20,x0,y3,的可行域如图：目标函数z=x+y经过可行域的A点时，目标函数取得最大值，由y=3x=0可得A（0,3），所以目标函数z=x+y的最大值为：3.故答案为3.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，先根据约束条件画出可行域，将目标函数化成斜截式，结合目标函数的几何意义，可以断定目标函数在哪个点处取得最大值，解方程组，求得最优解，代入求得最大值.1216.【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义求
13、z的最小值详解：如图所示区域：，联立 x+2y5=02x+y7=0x=3y=1但（3，1）不在可行域中，令z=3x+4y可知当直线过可行域内的整点（4,1）时，z有最小值16.故答案为16.点睛：考查线性规划求最值问题，正确画出可行域，找出最优解为解题关键，属于中档题.1312,6【解析】分析：先画出约束条件x0y04x+3y12表示的可行域，再数形结合计算可行域内与点（1，1）连线的斜率的范围，最后即得y+2x+1取值范围.详解：画出可行域，即直角三角形AOB其内部，直线4x+3y=12和轴的交点为A，B，且A（0，4），B（3，0）设k=y+2x+1，其几何意义为点（x，y）与点（1，2）连线的斜率由图数形结合可知：点A与（1，2）连线斜率最大为k=6，点B与（1，2）连线斜率最小为k=12.y+2x+1的取值范围为12,6故答案为： 12,6.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ax+by型）、斜率型（y+bx+a型）和距离型（x+a2+y+b2型）；(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值；注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
