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1、小学生数学学习的诊断与教学改进 范存丽 北京教科院基教研中心王晓松 北京市朝阳区实验小学一、诊断的对象 1. 诊断对象 诊断对象分为群体和个体。诊断的群体可以是多个国家的学生，也可以是单独一个国家、一个省市、一个地区、一所学校或者一个班级的学生。例如： PISA 测查 2009 年有 65 个国家或地区参加。 诊断的对象也可以是一名学生。诊断单个学生的数学学习情况。 2. 诊断内容 针对不同的诊断对象，我们通常的诊断内容包括：数学学习情况和学生的成就水平。 （ 1 ）数学学习情况 诊断数学学习情况可以做全面诊断，也可以做专项诊断。 全面诊断： 北京市从 2003 年开始也进行了学科质量监测，北
2、京的测试项目主要测试目标为学生的数学学业水平是否达到了课程标准的要求。测试的框架主要围绕两个维度，也就是数学学习的内容和数学能力。数学内容包括：数与代数、空间与图形、统计与概率、 实践活动四个领域。数学能力包括：知识技能、数学思考和解决问题三个方面。 市级 下面是全市测查中各领域得分率情况图。从图中可以看出 北京市三年级数学在内容领域各部分中“统计与概率”部分得分率最高，“空间与图形”最低。得分率由高向低依次为“统计与概率”、“数与代数”、“实践与综合”、“空间与图形”。四部分的得分率都在 91% 以上，但四部分仍存在显著差异。 下图呈现了北京市学生在内容领域各部分的得分率分布情况。“数与代数
3、”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合”四个领域均有 50% 达到优秀水平，均有 75% 达到良好水平。其中“统计与概率”约有 95% 以上学生的得分率处于 96% 以上。从每个部分的得分率离散程度来看，学生在“数与代数”部分的得分率差异最小，前 5% 与后 5% 的学生得分率相差约 20% 。相对而言，在“统计与概率”部分内，学生的得分率存在较明显的向高分段集中的趋势（上横线与盒子下沿线基本重叠，都在 96% 以上），表明在测试群体中，多数学生的得分率向较高的方向趋近。学生在“空间与图形”部分的得分率差异最大，前 5% 与后 5% 的学生得分率相差近 35% ，说明北京市三年级学生
4、在“空间与图形”领域出现两极分化，导致总得分率低于其他领域的总得分率。 （注： 上图为盒式图，每个小图由一个盒子与上下两条短横线、中间一条长竖线组成，呈现出得分率的集中与离散趋势。将北京市学生的得分率按从高到低的顺序排序，上短横线表示排名位于 5% 的学生所对应的得分率；盒子上沿横线表示排名为 25% 的学生对应的得分率，盒子中位线表示排名位于 50% 的学生对应的得分率，盒子下沿横线表示排名为 75% 的学生对应的得分率；下短横线表示排名位于 95% 的学生对应的得分率。图中，盒子中位线大体描述了相应群体学生得分率的平均水平，而上下两条短横线间距离（长竖线）在一定程度上描述了学生得分率离散程
5、度的大小。如果图中的横线少于上述五条，则说明有两条或两条以上横线重叠的情况，意味着重叠横线间所代表区域内学生得分率分布非常集中。下同 ） 班级 下面是一个班同学一次期末考试数学的情况。横轴表示班内各位同学的数学测试总分，纵轴为这些学生在本次测试中数与代数领域的得分情况。中间的竖线是全班的平均分，中间的横线是全班数与代数部分的平均分。这样就分成四个部分，可以看到尹伊等同学数与代数部分得分率很高，总分也较高；马越和乔紫薇等同学虽然总分不高但数与代数部分得分率很高，可以建议他们总结经验，用于提高其他部分的学业水平；李心怡等同学虽然数与代数部分得分率不高，但总分较高，可以建议他们提高数与代数部分的学业
6、水平；还有的同学数与代数部分得分率不高，总分也不高。 学生个体 对于学生个体而言，给出学生个体诊断报告单。如下图是一名学生在一次全市测试中数学学习情况的报告单，从中可以看到这名学生在内容领域的统计与概率部分的测试成绩高于全市平均水平，而数与代数、空间与图形和实践活动的测试成绩低于全市平均水平。在能力领域中，知识技能和解决问题部分的得分低于全市平均水平，数学思考部分略高于全市平均水平。 专项诊断： 专项诊断可以做的内容有很多，如数感、空间观念、解决问题等。也可以专门测学生对数的意义的理解，测查学生解决问题的方式等。 如考察 数感时，可以根据课标中描述的数感的具体表现： 理解数的意义；（认识数）
7、能用多种方法来表示数；（表示数） 能在具体的情境中把握数的相对大小关系；（估算） 能用数来表达和交流信息；（运用数） 能为解决问题而选择适当的算法；（数量关系） 能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。（验算、反思） 考察 理解数的意义时，有多种题目，如 3600 是（ ）。 36 个一 36 个十 36 个百 36 个千 能为解决问题而选择适当的算法题目举例： 暑假期间，爸爸、妈妈带小明去博物馆参观。 学生门票多少元？小明全家购买门票需要多少元？ 学生可以用多种方法解决问题，如可以用画图的方法来解决，两张全价票用两个圆来表示，一张半价票用一个半圆来表示。再将各票的价格合起来就得到全家购买
8、门票所需钱数。 能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释题目举例： 估一估，把积大于 500 的算式的序号写在下面的圈里。 5.77 91 80 6.1 49.5 9 55.8 9.5 （ 2 ）学业成就水平 在测查中，还可以看学生的学业成就水平，从中看到这名学生的优势与不足，为他的进一步学习指引方向。 在分类理论中， Solo （可观察的学生学习成果的结构）分类理论是影响比较大的。它将学生的学习水平分为五个层次。 前结构水平：学生不能对问题做出任何有意义的反应。 单一结构水平：学生仅能对一个相关信息或线索做出反应，或只能作出一步反应。 多元结构水平：学生可以使用两个或两个以上的相关因素对问
9、题做出反应，但不能把这些因素做出有机整合，所以反应可能包括一些彼此分离的线索。 关联水平：学生的回答反映他们能够从整体上把握刺激题目的要求，并将各种相关信息整合成有机整体。 扩展抽象水平：学生可以使用外部系统的资料，主要特点是：会归纳问题，在归纳中概括考虑了新的和更抽象的特征。 在课程标准中使用了“了解（认识）”、“理解”、“掌握”、“灵活应用”四个层次来刻画知识技能目标。 了解（认识）：能从具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征（或意义）；能根据对象的特征，从具体情境中辨认出这一对象。 理解：能描述对象的特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。 掌握：能在理解的基础上，
10、把对象运用到新的情境中。 灵活运用：能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务。 对于了解的解释，其中举例一词很重要。学生能举例子来说明，是很好的一种解决问题的方式。在北京市教学质量监控与反馈中，我们曾经通过问卷与测试得分对应的方式进行分析，发现学生用举例子或画图方式解决问题的，数学测试得分率较高。在北京市教学质量监控与反馈中，根据学生的学业成就表现，区分出合格水平、良好水平和优秀水平。不同水平的学生针对具体知识点有不同的表现。如在数与代数部分，针对估算，合格水平的学生能结合具体情境进行估算，良好水平的学生在此基础上能解释估算的过程，优秀水平的学生还能自觉地运用估算检验
11、口算与笔算的结果是否正确。针对解决问题，合格水平的学生能正确地解决简单的问题，良好水平的学生能运用不同的方法解决问题，优秀水平的学生能灵活运用不同方法解决问题，并对方法和结果的合理性作出正确的判断。 二、诊断的方式 北京市义务教育教学质量分析与反馈项目中，采用的研究方法包括问卷调查（包括学生问卷调查、教师问卷调查、校长问卷调查）、测试卷测试和教学实际观摩（包括教学视导和教学叙事）等方式。在测试数据收集以后，就需要确定比较的标准。就比较的标准来说我们可以和课程标准比较，和另一群体比较，这个群体可以是上一年级的群体，也可以是同一年级的群体。还可以进行不同题目作答情况比较，可以比较得分率也可以比较解
12、决问题的策略，另外我们还可以对影响教学质量的因素进行分析。 1. 和标准比较 在一个测试中，使用同一测试工具的一级群体（如全市测查中全市这个整体，全校测查中年级这个整体，全班测查中全班这个整体）的情况一般通过和标准的比较来进行观察。也是标准参照测验，参照课程标准或者已经确立的学业质量标准。 北京市 2008 年五年级数学学科学业水平测试是与课标进行比较，例如， 2008 年五年级数学学科学业测试的平均分为 84.1 分，学生的整体学业水平达到了课程标准的要求。北京市五年级学生学业成就水平总体达到了方案的良好水平，学生主要集中在良好及优秀水平。 北京市 2009 年三年级学生学业水平测试也是参照
13、课程标准来执行。 北京市三年级学生学业成就水平为优秀水平的学生占 54% ，良好水平的学生占 35% ，这两部分学生共占学生总数的 89% 。三年级学生数学测试合格率为 98% ，良好率为 89% ，优秀率为 54% 。 2. 和群体比较 （ 1 ）在上一级群体中的位置 测查中反映二级群体的情况可以通过和上一级群体比较的方式。如某个区测试结果如何，可以通过与全市情况进行比较而得到。如下图，通过比较优秀率、良好率、合格率发现，测试区总体成绩好于北京市平均水平，优秀率比全市总体高 11.9% ，良好率高 5.3% ，及格率高 0.9% ，几乎所有学生达到合格水平。 （ 2 ）和同级群体的比较 测查
14、中还可以通过和同级群体的比较来看这个群体的情况。如某班成绩可以通过和其他班级的比较来看，男生成绩可以通过和女生的比较来看等。 3. 不同题目作答情况比较 （ 1 ）得分率 可以根据不同题目的得分率来对群体或个人进行反馈。 通过不同题目得分率的比较诊断学生的数学学业水平。如下面两个题目，在一个群体中，第一个题目的得分率是 93% ，第二个题目的得分率为 85% 。从中可以看出，这个群体中的学生运用灵活策略解决问题的能力较强，而审题能力尚需提高。 （ 2 ）解决问题的策略 可以根据学生解决问题的策略对群体或个人进行反馈。如在北京市 2009 年三年级教学质量分析与反馈中，根据学生解决问题的策略对全
15、市情况作出反馈： 学生解决问题时能够真正从问题出发，思考问题的本质。如借书的问题，在过去的教学中，几乎所有学生都会用统一模式解决问题。阅卷过程中发现，学生用多种方法解决问题。从中看到了取消按类别教学解决问题的良好效果。 学生基本概念扎实。通过对测试卷结果的分析，发现学生能够运用概念解决问题。如让学生用多种方法表示数的题目，此题的核心概念是位值制概念，同样的点子放的位置不同，表示的数的大小也不同。学生自主联想到计数器，运用概念解决问题。在教学中教师关注概念的本质进行教学，使学生理解概念，学生才会运用概念解决问题。 学生解决问题的策略灵活多样。在阅卷过程中，看到学生解决问题的策略灵活多样。如求图形周长的题目，学生们用数的方法解决问题，数的方法是一个通用的方法，通用的方法是好方法。有些学生运用平移的方法，学生想到转化，能用运动的方式解决问题，对学生空间观念的培养很有益处。有些学生自己构建一个转化后的图形，有较好的数学建模的意识。从中看到了解决问题策略多样化的良好效果。 学生能够自主运用基本数学工具解决问题。观察学生解决问题的策略及学生问卷调查结果发现，很多学生自主运用画图的策略、举例子的策略等基本策略解决问题。如考察长方形特征的题目，主要看学生能否辨别反例，学生的正确率达到 88% 。
