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1、推理与证明04 数学归纳法【考点讲解】一、具体目标：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.二、知识概述：数学归纳法(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(归纳递推)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法(2)数学归纳法的框图表示例1用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2，其中nN*.考点用数学归纳法证明等式题点利用数学归纳法证明等式证明(1)
2、当n1时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么当nk1时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当nk1时等式也成立根据(1)和(2)可知等式对任何nN*都成立【总结】用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形来源:Zxxk.Com反思与
3、感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合
4、法、放缩法等类型三归纳猜想证明例2已知数列an满足关系式a1a(a0)，an(n2，nN*)，(1)用a表示a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明考点数学归纳法证明数列问题题点利用数学归纳法证明数列通项问题解(1)a2，a3，a4.(2)因为a1a，a2，猜想an.下面用数学归纳法证明当n1时，因为a1a，所以当n1时猜想成立假设当nk(k1，kN*)时猜想成立，即ak，所以当nk1时，ak1，所以当nk1时猜想也成立根据与可知猜想对一切nN*都成立【总结】 “归纳猜想证明”的一般步骤【真题分析】1.【2018优选题】已知f(n)1(nN*)，计算得f(2
5、)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，由此推算：当n2时，有()Af(2n)(nN*) Bf(2n)(nN*)Cf(2n)(nN*) Df(2n)(nN*)【解析】本题考查的是数学归纳法证明不等式f(4)2改写成f(22)；f(8)改写成f(23)；f(16)3改写成f(24)；f(32)改写成f(25)，由此可归纳得出：当n2时，f(2n)(nN*)【答案】D2.【2019优选题】用数学归纳法证明“1aa2a2n1(a1)”在验证n1时，左端计算所得项为()A1a B1aa2C1aa2a3 D1aa2a3a4【解析】将n1代入a2n1得a3，故选C.【答案】C3.【2019优选
6、题】 在数列中，则数列的通项公式为_【解析】本题有多种求法，“归纳猜想证明”是其中之一;猜想.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，猜想成立;（2）假设当n=k时猜想成立，则,当n=k+1时猜想也成立，综合（1）（2），对猜想都成立.故应填.【答案】.4.【2017浙江】已知数列满足：，证明：当时，（）；（）；（）【解析】（）用数学归纳法证明：当时，假设时，那么时，若，则，矛盾，故因此所以因此（）由得记函数.函数在上单调递增，所以=0，因此故（）因为，所以.由得所以 .故.综上， 5已知数列的各项均为正数，e为自然对数的底数（）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（）计算，由此推测计算的公式
7、，并给出证明；（）令，数列，的前项和分别记为, 证明：【解析】（）的定义域为，当，即时，单调递增；当，即时，单调递减故的单调递增区间为，单调递减区间为当时，即令，得，即 （）；由此推测： 下面用数学归纳法证明（1）当时，左边右边，成立（2）假设当时，成立，即当时，由归纳假设可得所以当时，也成立根据（1）（2），可知对一切正整数n都成立（）由的定义，算术-几何平均不等式，的定义及得，即6. 【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，数列满足：对每个成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记 证明：【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和
8、综合应用能力.（1）设数列的公差为d，由题意得，解得从而所以，由成等比数列得解得所以（2）我们用数学归纳法证明（i）当n=1时，c1=01)，第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数是（ ）A. B. C. D. 【解析】当n=k时,左端=，那么当n=k+1时 ，左端=，左端增加的项为,所以项数为：2k.本题选择C选项.【答案】C3.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A. B. C. D. 【解析】由于当时，等式左端，因此当时，等式左端，增加了项应选答案D。【答案】D4.用数学归纳法证明：(nN*)【证明】当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立假设当nk(k1，kN*
9、)时，等式成立即，当nk1时，左边，右边，左边右边，等式成立即对所有nN*，原式都成立5.等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)，证明：对任意的nN*，不等式成立【解析】(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，所以b，即b，解得r1.【证明】(2)由(1)及b2知an2n1.因此bn2n(nN*)，所证不等式为.当n1时，左
10、式，右式，左式右式，所以结论成立假设nk(k1，kN*)时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由基本不等式得成立，故成立，所以当nk1时，结论成立由可知，当nN*时，不等式成立6.已知函数，设为的导数，（）求的值；（2）证明：对任意的，等式成立【解析】（）由已知，得于是所以故（）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，即，类似可得，.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.(i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立, 即.因为，所以.所以当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.令，可得().所以()7.设实
11、数，整数，（）证明：当且时，；（）数列满足，证明：【解析】（）证：用数学归纳法证明（1）当时，原不等式成立。（2）假设时，不等式成立当时，所以时，原不等式成立。综合（1）（2）可得当且时，对一切整数，不等式均成立。（）证法1：先用数学归纳法证明。（1）当时由假设知成立。来源:Z*xx*k.Com（2）假设时，不等式成立.由易知当时由得由（）中的结论得因此，即所以当时，不等式也成立。来源:学科网综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。再由得，即综上所述，证法2：设，则，并且，由此可见，在上单调递增，因而当时。（1）当时由，即可知，并且，从而故当时，不等式成立。 （2）假设时，不等式成立
12、，则当时，即有，所以当时原不等式也成立。综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。8.设（）若，求及数列的通项公式；（）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论 【解析】：（）解法一：，再由题设条件知，从而是首项为0公差为1的等差数列，故=，即解法二：，可写为.因此猜想.下面用数学归纳法证明上式：当时结论显然成立.假设时结论成立，即.则这就是说，当时结论成立.所以（）解法一：设，则.令，即，解得.下面用数学归纳法证明加强命题：当时，所以，结论成立.假设时结论成立，即易知在上为减函数，从而，即.再由在上为减函数得.故，因此，这就是说，当时结论成立.综上，符合条件的存在，其中一个值为.解法
