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1、关于对称矩阵的性质及应用探讨1、相关定义1.1、定义和引理 定义1.2.1 80设A ( a) mn ijR ,则矩阵 A的行转置矩阵与列转置矩阵,并记为AR与A C, 即 a 1 2.a m am amn n a n .a11 a 1 1, 1 m 1 ,1 a m 1 ,2 .am 1,na 2 n a2 , n 1 .a21 AR . . . .AC . . . . a 21 a 22 .a 2n a m 1 , n a m 1 , n 1 .am 1,1 a1 1 a1 2 .a1n , a mn a m , n 1 .am1 。 特别:若 AR A( AC A),则 A称为行(列)对
2、称矩阵;若 AR A( AC A), 则 A称为行(列)反对称矩阵;若A R AC,则 A 称为行列对称矩阵。 由定义不难得到: J 1 JT J, JR JC J2 E。 2 定义 1.2.2 设A Rn n,若 ARA AAR kJ(其中 0 k R),则 A称为 k 行 正交矩阵。 特别地,若 k 1,则 A称为行正交矩阵;若 k 1,则 A称为行反正交矩阵。 引理1.2.1 82设 A,B Rm n,则有下列结论: (1) AR JmA,A C AJn; (2) ( A R )R A, ( AC)C A; (3)( kA )R kAR,(kA) C kAC k R ; (4)( A R
3、)T (AT)C,( A C)T (AT)R; (5)( A B)R AR BR,( A B)C AC BC; (6)设B Rn k,则 ( AB)R ARB,( AB )C ABC。 引理1.2.2 96设 A (a nnij)R , i 是 A的特征值,则有 ( ) () n n trkAktrAkaiik i i 1 i 1(0 k R)( i , j 1,2, ,n)。 引理1.2.3 97A (a) n nijR,且 A为可逆矩阵,则A* A A 1。 引理 1.2.4 设A Rn n,并且 A是可逆矩阵,那么(A 1)R (AC) 1,(A 1)C (AR) 1。 证明 因A Rn
4、 n且可逆,所以: (A 1A)R (A 1)RA ER J, 于是 (A 1)R JA 1 (AJ) 1 (AC) 1; 同理可证:(A 1)C (AR) 1。 1.2、广义正定矩阵概念 近些年,对正定矩阵的研究主要集中在以下几类: 定义 1.2.18设A Rn n,若A AT,对任意的0 x Rn 1,均有 xTAx 0,则称 A 为对称正定矩阵。 _ 定义 1.2.28设A Cn n,若A AT,对任意的0 x Cn 1,均有 xTAx 0,则称 A 为 Hermite 正定矩阵。 1 定义 1.2.31设A Rn n,若对任意的0 x Rn 1,均有 xTAx 0,则称 A为广义 正定
5、矩阵。 定义 1.2.42设A Rn n,若对任意的0 x Rn 1,存在正对角矩阵 D ,使得 xTDAx 0,则称 A为广义正定矩阵。 定义 1.2.54设A Rn n,若对任意的0 x Rn 1,存在对称正定矩阵 S ,使得 xTSAx 0,则称 A为广义正定矩阵。 定义 1.2.661设A Rn n,若对任意的0 x Rn 1,存实可逆矩阵 Q ,使得 xTQAx 0,则称 A为准正定矩阵。 定义 2.1.75设A Rn n,对矩阵 A进行如下分解: A R( A) S(A),其中 RA A AT()2,S(A A T)A 2分别称为 A的对称分支和反对称分支。若 R (A)为实对称
6、正定矩阵,则称 A为亚正定矩阵。 定义 2.1.862设A Rn n,若对任意的0 x Rn 1,均有 ( xR)TAx 0,则称 A为 行正定矩阵。 1.3、核的定义及其在 Bezout 矩阵中的应用 3.1 一些定义和引理3.1 一些定义和引理 F ( z ) F z F _( z), 对 于 任 意 的 p( )pq F z, q a r q, 其 中 a F z, r q F _( z)。定义映射 、 : F ( z ) F ( z )如下: p q a, p r q q。 显然 、 均是 F ( z )上的投影,且 Im F z, ker F _( z); Im F _( z), k
7、er F z。 定义 5 对于任意的 r q F _( z),设r r1 r2 r3 rk q z z 2 z 3 L zk L 为r q的形式幂 级数展开式。对于任意的 f ( z )、 g ( z ) F ( z), f ( z ) L f k L f 1nf z kz f 0 f 1z L f nf z, g ( z ) L g k L g 1 z z g 0 g1 z L g zng kng ,我们可以作如下定义: f , g f i g i 1 f n g 1 g n g f n g g n g 1 L f 2 g1 f 1 g 0 f 0 g 1 f1 g 2 L f n f g
8、nf 1。 i 注:(1)对于任意的 f ( z )、 g ( z ) F ( z ),n f、n g是有限的,从而 f , g 定 义式中至多有n f+n g+2 个非 0 项,因而它的值是确实存在的,该定义是合理的。 事实上,我们很容易就能看出, f , g 其实就是 f ( z ) g ( z)的形式幂级数展开式 中的1 z这一项的系数。从这个角度我们更容易理解 f , g 的定义,并很容易得到 下面的几条关于 f , g 基本的性质。 (2) f , g g , f; (3)对于任意的 、 F ,均有 f1 f 2, g f1 , g f 2, g,从而 f , g 是 F ( z )
9、上的一个双线性型,即对 f 、 g 都满足线性; (4)对于任意的 f 、 g F z ,一定有 f , g 0; (5)对于任意的 f 、 g F _( z ),一定有 f , g 0; (6)对于任意的 f 、 g 、 h F ( z),则有 fh, g h, fg f , hg。 引理 6 设 f ( z ) F z, F,则 1 z , f f ( )。 17 1 12k 证明:z z z 2 z3 L zk 1 L , 设f f f z f z 2 L f zn 0 1 2n,其中 f n 0。根据定义, 所以 1, ff f f 2z 0 L f n 1 2n f( ),结论得证。
10、 设q ( z ) z n q z n 1 n 1 L q1 z q 0 F z , deg q n 1, X q Fn z , 显 然 1, z ,L zn 1是X q的一组基,我们称之为X q的标准基(standard basis);对于任 意的 i 1,2, L ,n,定义e ( z) q ( z) i zi,易看出e1 , e2 , L ,en是X q的一组基,我们称 q1 q2Kqn 11 qK 2q31 0 之为X q的控制基(control basis),且 Ist co M M。 qL n 11 0 0 1 0 L0 0 定义 6 设 q ( z ) F z, deg q n
11、1,在X q中定义 f ,g 如下: 对于任意的 f 、h Xq, f ,h f, h q,显然 f ,h 是X q上的一个双线性型。 注:尤其值得注意的是,设q1 、q 2 F z且首项次数均为 1, deg q1 =deg q 2= n 1,则显然X q1 =X q2 = Fn z ,从而X q1 、X q2 拥有相同的标准基, 但根据控制基定义,显然X q1 、X q2 的控制基是不一样的。 与此同时,对于任意的 f 、 hX q1 =X q2 , f ,h q1 = f, h q, 1 f ,h q2 f, h q,即在线性空间X q1 、X q2 中定义的双线性型 f ,h 是不一样
12、的, 2 这一点尤其值得注意。 引理 7 在X q中, z i 1,ej 1i j ij0i j,其中 ij是克罗内克(Kronecker delta)符号。 18 证明: z i 1,ezi 1z i 1 j zi 1, ej q q, ej , q z i1 q qz i 1 q zj q , z j zj , q q zj 1 zj i 1,1 i j =1 0i j ij,证。 结论得S q是X q上的位移算子,则对于任意的 p F z , p ( S q)也是X q上的线性变 换。接下来我们来研究一下 p ( S q)的一些基本的性质。 引理 8(1)设 p F z,则对于任意的 f
13、 X q, p ( S q)f qpf。 (2)位移算子S q的最小多项式和特征多项式均为 q ( z )。从而在研究 p ( S q),其 中 p F z时,我们只需要研究p Xq即可。 (3)设 p X q, ( p , q ) r,其中 ( p , q )表示 p 、 q 的最大公因式, q rs,则 ker p ( S q ) sXr。从而 p ( S q)可逆 ker p ( S q ) sXr 0 r 1 p 、 q 互素。 0 0 L0 q0 1 0 L0q 0 1 0 L0 0 0 1 L0 1 (4) S s t # q st L, S co M Mb q co 。 M M
14、0 1 0q2Cq 0 0 0 L1 Cq 0 0 0 1 L q0 q1 q2L1 证明:(1)设p p p z L p zk 0 1k,S q f qzf,S 2 q f S q ( S q f ) z z 2q ( q zf ) qf, 由数学归纳法,我们可证,对于任意的 i 1,2,L ,k,S i i q f qz f, 所以 p ( S q)f p f p S f L p S k 0 1q k qf p 0 f p1 zf L p z k q k qf ( p0 f p zf L p z k q 1kf) q( p p z L p k 0 1kz )f qpf,结论得证。 (2)设
15、S q的最小多项式为 m ( z ),特征多项式为 h ( z ), m ( z )、 h ( z )均首 1, 所以 deg h ( z ) n且 m ( z ) h ( z ),1 deg m ( z ) n。因为 m ( S q) 0,所以 m ( S q) 1 0, 即 q m 1 qm 0,所以 q m ,又因为 deg h degq n,所以 h( z ) m( z ) q ( z)。 19 (3) ker p ( S q)= f f X q , p ( S q) f 0 ,设 p rt,所以 ( s , t )= 1。 一方面,对于任意的 f ker p ( Sq), p ( S q ) f qpf 0,所以 rsrtf 0,所以 r stf 0,所以 stf 0,所以 s tf ,又因为 ( s , t ) 1,所以 s f 。设 f sh,又因 为 deg f degq,所以 deg h degr,所以h Xr,所以f sXr,所以 ker p ( S q ) sXr; 另一方面,对于任意的sh sXr,其中h Xr, p ( S q ) sh q psh q rtsh qqth 0, 所以 sh ker p ( Sq),所以 sX r ker p ( Sq), 总上两点,所以 ker p ( S q ) sXr,结论得证。 (4)首先考虑标准基
