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1、 四 二次曲面 第三节 一 曲面方程的概念 二 旋转曲面 三 柱面 曲面及其方程 第八章 定义1 如果曲面S与方程F x y z 0有下述关系 1 曲面S上的任意点的坐标都满足此方程 则F x y z 0叫做曲面S的方程 曲面S叫做方程F x y z 0的图形 2 不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 一 曲面方程的概念 故所求方程为 例1 求动点到定点 方程 特别 当M0在原点时 球面方程为 解 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为R的轨迹 表示上 下 球面 定义2 一条平面曲线 二 旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面 旋转曲线和定直线 称为旋转曲面的母线和旋转轴
2、 其余依此类推 例3 试建立顶点在原点 旋转轴为z轴 半顶角为 的圆锥面方程 解 在yoz面上直线L的方程为 绕z轴旋转时 圆锥面的方程为 两边平方 定义3 平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成 的轨迹叫做柱面 表示抛物柱面 母线平行于z轴 准线为xoy面上的抛物线 C叫做准线 l叫做母线 表示圆柱面 一般地 在三维空间 柱面 柱面 平行于x轴 平行于y轴 平行于z轴 准线xoz面上的曲线l3 母线 柱面 准线xoy面上的曲线l1 母线 准线yoz面上的曲线l2 母线 四 二次曲面 椭圆锥面的形成 研究曲面的伸缩变形法 平面图形的伸缩变形法 1 椭圆锥面 2 椭球面 得旋转椭球面 椭球面的形
3、成 3 单叶双曲面 单叶双曲面的形成 得旋转单叶双曲面 4 双叶双曲面 双叶双曲面的形成 绕x轴旋转 得旋转双叶双曲面 5 椭圆抛物面 椭圆抛物面的形成 得旋转抛物面 6 双曲抛物面 双曲抛物面与平面x t的截痕l为平面x t上的抛物线 截痕 当t变化时 l的形状不变 位置只作平移 而l的顶点的轨迹L为平面y 0上的抛物线 第八章 一 空间曲线的一般方程 二 空间曲线的参数方程 三 空间曲线在坐标面上的投影 第四节 空间曲线及其方程 一 空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线 其一般方程为方程组 例如 方程组 表示圆柱面与平面的交线C 表示上半球面与圆柱面的交线C 空间曲线的参数方程
4、二 空间曲线的参数方程 动点从A点出发 经过t时间 运动到M点 螺旋线的参数方程 取时间t为参数 解 螺旋线的重要性质 上升的高度与转过的角度成正比 例2 将下列曲线化为参数方程表示 解 将第二方程变形为 故所求为 三 空间曲线在坐标面上的投影 投影柱面与xOy面的交线叫做曲线C在xOy面上的投影曲线 或简称投影 类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影 投影柱面与投影 曲线 以空间曲线C为准线 母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面 投影柱面 投影曲线 投影 曲线 的确定 设空间曲线C的一般方程为 方程组中的两个方程消去变量z后可得一个关于x y的方程H x y 0 曲线C在x
5、Oy面上的投影曲线的方程为 三 空间曲线在坐标面上的投影 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程 投影柱面 投影曲线 消去x得C在yoz面上的投影曲线方程 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 投影曲线的研究过程 空间曲线 例3 已知两球面的方程为x2 y2 z2 1和x2 y 1 2 z 1 2 1 求它们的交线C在xOy面上的投影方程 解 x2 y2 z2 2y 2z 1 将x2 y2 z2 1代入得1 2y 2z 1 即y z 1 将z 1 y代入方程x2 y2 z2 1 得x2 y2 1 y 2 1 即x2 2y2 2y 0 方程x2 y 1 2 z 1 2 1化为 两球面的交线C在
6、xOy面上的投影方程为 这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程 空间立体 曲面 补充 空间立体或曲面在坐标面上的投影 例如 所围的立体在xoy面上的投影区域为 上半球面 和锥面 在xoy面上的投影曲线 二者交线 所围圆域 二者交线在 xoy面上的投影曲线所围之域 第八章 一 空间曲线的一般方程 二 空间曲线的参数方程 三 空间曲线在坐标面上的投影 第四节 空间曲线及其方程 一 空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线 其一般方程为方程组 例如 方程组 表示圆柱面与平面的交线C 空间曲线的参数方程 二 空间曲线的参数方程 三 空间曲线在坐标面上的投影 投影柱面与xOy面的交线叫做曲线C在x
7、Oy面上的投影曲线 或简称投影 类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影 投影柱面与投影 曲线 以空间曲线C为准线 母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面 投影柱面 投影曲线 投影 曲线 的确定 设空间曲线C的一般方程为 方程组中的两个方程消去变量z后可得一个关于x y的方程H x y 0 曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为 三 空间曲线在坐标面上的投影 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程 投影柱面 投影曲线 消去x得C在yoz面上的投影曲线方程 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 内容小结 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 如 圆柱螺线 思考与练习 P37题1 2 7 展示空间图形 P37题1 2 1 答案 3 P37题2 1 思考 交线情况如何 交线情况如何 P37题2 2 P37题7 备用题 求曲线 绕z轴旋转的曲面与平面 的交线在xoy平面的投影曲线方程 解 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向xoy面的投影柱面方程为 此曲线在xoy面上的投影曲线方程为 它与所给平面的 交线方程为 在面上的投影为 思考题解答 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形 平面解析几何中 空间解析几何中 斜率为1的直线 方程 思考题解答
