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1、 习题12-7 1. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？ (1)x, x2; 解 因为不恒为常数, 所以x, x2是线性无关的. (2)x, 2x; 解 因为, 所以x, 2x是线性相关的. (3)e2x, 3e2x; 解 因为, 所以e2x, 3e2x是线性相关的. (4)e-x; ex; 解 因为不恒为常数, 所以e-x; ex是线性无关的. (5)cos2x, sin2x; 解 因为不恒为常数, 所以cos2x, sin2x是线性无关的. (6) , ; 解 因为不恒为常数, 所以, 是线性无关的. (7)sin2x, cos xsin x; 解 因为, 所以sin2x, cos
2、 xsin x是线性相关的. (8)excos2x, exsin2x; 解 因为不恒为常数, 所以excos2x, exsin2x是线性无关的. (9)ln x, xln x; 解 因为不恒为常数, 所以ln x, xln x是线性无关的. (10)eax, ebx(ab). 解 因为不恒为常数, 所以eax, ebx是线性无关的. 2. 验证y1=coswx及y2=sinwx都是方程y+w2y=0的解, 并写出该方程的通解. 解 因为 y1+w2y1=-w2coswx+w2coswx=0, y2+w2y2=-w2sinwx+w2sinwx=0, 并且不恒为常数, 所以y1=coswx与y2=
3、sinwx是方程的线性无关解, 从而方程的通解为y=C1coswx+C2sinwx.提示: y1=-w sinwx, y1=-w2coswx; y2=w coswx, y1=-w2sinwx. 3. 验证及都是方程y-4xy+(4x2-2)y=0的解, 并写出该方程的通解. 解 因为 , , 并且不恒为常数, 所以与是方程的线性无关解, 从而方程的通解为.提示: , ; , . 4. 验证: (1)(C1、C2是任意常数)是方程 y-3y+2y=e5x的通解; 解 令y1=ex, y2=e2x, . 因为 y1-3y1+2y1=ex-3ex+2ex=0, y2-3y2+2y2=4e2x-3(2
4、e2x+2e2x=0,且不恒为常数, 所以y1与y2是齐次方程y-3y+2y=0的线性无关解, 从而Y=C1ex+C2e2x是齐次方程的通解. 又因为 , 所以y*是方程y-3y+2y=e5x的特解. 因此是方程y-3y+2y=e5x的通解. (2)(C1、C2是任意常数)是方程y+9y=xcos x的通解; 解 令y1=cos3x, y2=sin3x, . 因为 y1+9y1=-9cos3x+9cos3x=0, y2+9y2=-9sin3x+9sin3x=0,且不恒为常数, 所以y1与y2是齐次方程y+9y=0的线性无关解, 从而Y=C1ex+C2e2x是齐次方程的通解. 又因为 , 所以y
5、*是方程y+9y=xcos x的特解. 因此是方程y+9y=xcos x的通解. (3)y=C1x2+C2x2ln x(C1、C2是任意常数)是方程x2y-3xy+4y=0的通解; 解 令y1=x2, y2=x2ln x. 因为 x2y1-3xy1+4y1=x22-3x2x+4x2=0, x2y2-3xy2+4y2=x2(2ln x+3)-3x(2xln x+x)+4x2ln x=0, 且不恒为常数, 所以y1与y2是方程x2y-3xy+4y=0的线性无关解, 从而y=C1x2+C2x2ln x是方程的通解. (4)(C1、C2是任意常数)是方程 x2y-3xy-5y=x2ln x的通解; 解
6、 令y1=x5, , . 因为 x2y1-3xy1-5y1=x220x3-3x5x4-5x5=0, , 且不恒为常数, 所以y1与y2是齐次方程x2y-3xy-5y=0的线性无关解, 从而是齐次方程的通解. 又因为 , 所以y*是方程x2y-3xy-5y=x2ln x的特解. 因此是方程x2y-3xy-5y=x2ln x的通解. (5)(C1、C2是任意常数)是方程 xy+2y-xy=ex的通解; 解 令, , . 因为 , , 且不恒为常数, 所以y1与y2是齐次方程xy+2y-xy=0的线性无关解, 从而是齐次方程的通解. 又因为 , 所以y*是方程xy+2y-xy=ex的特解. 因此是方
7、程xy+2y-xy=ex的通解. (6)y=C1ex+C2e-x+C3cos x+C4sin x-x2(C1、C2、C3、C4是任意常数)是方程y(4)-y=x2的通解. 解 令y1=ex, y2=e-x, y3=cos x, y4=sin x, y*=-x2 . 因为 y1(4)-y1=ex-ex=0, y2(4)-y2=e-x-e-x=0, y3(4)-y3=cos x-cos x=0, y4(4)-y4=sin x-sin x=0,并且 , 所以y1=ex, y2=e-x, y3=cos x, y4=sin x是方程y(4)-y=0的线性无关解, 从而Y=C1ex+C2e-x+C3cos
8、 x+C4sin x是方程的通解. 又因为 y*(4)-y*=0-(-x2)=x2, 所以y*=-x2是方程y(4)-y=x2的特解. 因此y=C1ex+C2e-x+C3cos x+C4sin x-x2是方程y(4)-y=x2的通解. 提示: 令k1ex+k2e-x+k3cos x+k4sin x=0, 则 k1ex-k2e-x-k3sin x+k4cos x=0, k1ex+k2e-x-k3cos x-k4sin x=0, k1ex+k2e-x+k3sinx-k4cos x=0. 上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为 , 所以方程组只有零解, 即y1=ex, y2=e-x, y3=cos x, y4=sin x线性无关.
