《清华大学量子力学讲义Lecture7.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清华大学量子力学讲义Lecture7.pdf（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 2 Schroedinger 绘景与绘景与 Heisenberg 绘景绘景 1 么正变换的两种方式 么正变换的两种方式 前面讨论的空间平移变换 U dx 和时间平移变换 U dt都是对态的作用 1 1 i U dx i U dtHdt 而力学量保持不变 考虑任意的么正变换 U 力学量的矩阵元 AUA UU AU 既可以看成 U 力学量 A保持不变 也可以看成 AU AU 态 保持不变 两种形式完全等价 不影响力学量的矩阵元 特别是不影响力学量的平均值 例如 空间平移的 作用也可以表示为 不变 11 iii xTdx xT dx xp dxxp dxxxdx 2 时间演化的 时间演化的 S
2、chroedinger 绘景与绘景与 Heisenberg 绘景绘景 Schroedinger 绘景 态的时间演化 0 i Ht SS te 力学量保持不变 S A Heisenberg 绘景 力学量的时间演化 0 ii HtHt HH AteAe 态保持不变 H 两个绘景的联系 2 0 0 HS SH AA 注意 1 内积 包括矩阵元 几率分布和平均值 与绘景无关 2 由于么正变换不改变对易关系 如果在 Schroedinger 绘景有对易关系 SSS ABC 即 Heisenberg绘景的初始对易关系 0 0 0 HHH ABC 则有等时对易关系 HHH AtBtCt 3 上面的哈密顿算符
3、 S HH 但是 SS ii H tH t HSS HeH eHH 上面只讨论了态和力学量的时间演化 基矢是否也象一般矢量一样随时间变化 在 Schroedinger 绘景 SSS A aa a S A不含时间 基矢 S a也不随时间变化 基矢是力学量的本征态 随时间的变化由力学量确定 在 Heisenberg 绘景 HHH Aaa a 因为 H A依赖时间 故 H a必依赖于时间 由 HS AU A U 有 SHHSHH U A U aa aA U aaU a 为了重新得到 Schroedinger 绘景的本征方程 必须有 HS aUa 即 0 i Ht HH a tea 总结 对于时间演化
4、 i Ht Ue Schroedinger 绘景 Heisenberg 绘景 态 0 SS tU H 与时间无关 力学量 S A与时间无关 0 HH AtU AU 基矢 S a与时间无关 0 HH a tUa 3 3 Heisenberg 运动方程运动方程 由于经典力学中只有力学量随时间演化 不引入态矢量的概念 因此 量子力学的 Heisenberg 绘景更容易与经典力学比较 对 0 ii HtHt HH AteAe 求时间微分 得到 Heisenberg 运动方程 1 H H dAt At H dti 其地位类似于 Schroedinger 绘景中的态方程 SS itHt t 注意到正则量子
5、化中 1 poisson i 经典力学量子力学 Heissenberg 运动方程就对应分析力学中的运动方程 poisson dA A H dt 4 Ehrenfest 定律定律 如何构造 H 有经典对应的量子体系 分析力学的 H x p 量子力学的 H x p 对应自由粒子 2 2 p H m Heisenberg 运动方程 2 1 0 0 0 11 0 2 H HHH HHH HHHHH dp pHptp dti p xHxpxtxt dtii mmm 对于一般体系 2 2 p HV x m 4 Heisenberg 运动方程 11 H HH dp pHpV x dtii 将 V x 按 x
6、 的级数展开 并应用 ijij x pi 有 H dp V x dt 2 2 2 11 2 HH HHH HH xHxp dtii mm d xdp mV x dtdt 这里已 两边求平均 2 2 HHH dd mxpV x dtdt 此即 Ehrenfest 定律 对应经典力学中的牛顿定律 关于平均值的 Ehrenfest 定律与绘景无关 以下没有特殊说明 一般是在 Schroedinger 绘景讨论问题 3 一维线性谐振子一维线性谐振子 对于任意势 在最小点 0 x 附近按 Taylor 展开 2 00000 1 2 V xV xVxxxVxxx 其中 常数项 0 V x可以归并到能量中去 在势最小值点 有 0 0Vx 略去高阶项 有 2 00 1 2 V xVxxx 近似为谐振子势 故研究谐振子问题具有普遍意义 经典 2 22 1 22 p Hmx m 5 量子 2 22 1 22 p Hmx m x pi 由于 1 22 mii Hxpxp mm 定义新算符 2 mi axp m 2 mi axp m 则 1 2 1 Ha a a a 显然 a 不是厄米算符 aa 但 a a 是厄米算符 a aa a 由于 a a 与 H只差一个常数 故 a a 与 H有共同本征态 设 a a nn n 则 1 2 H nnn 1 2 n En 问题 本征值 n 坐标表象本征态 x n
