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1、第二章点、直线、平面之间的位置关系练习题一、选择题1【06陕西理】已知平面外不共线的三点到的距离都相等,则正确的结论是A. 平面必平行于 B. 平面必与相交C. 平面必不垂直于 D. 存在的一条中位线平行于或在内2【06上海理】若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；（C）充要条件； （D）非充分非必要条件3【06上海文】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A）48 （B）18 （C）24
2、 （D）364【06四川理】 已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为（A） （B） （C） （D）5【06四川理】 已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角的大小是（A） （B） （C） （D）7【06天津理】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是A B CD8【06北京文】设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是AAC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若AB=AC，DB=DC，则AD=BCD若AB=AC，DB=D
3、C，则ADBC9【06天津文】若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：；其中正确的命题有A0个 B1个 C2个 D3个10【06浙江理】如图，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧与的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（A） （B） （C） （D）11【06浙江文】如图，正三棱柱的各棱长都为2，分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（A）2 （B） （C） （D）12【06重庆文】若是平面外一点，则下列命题正确的是（A）过只能作一条直线与平面相交 （B）过可作无数条直线与平面垂直（C）过只能作一条直线与平面平行 （D）过可作无
4、数条直线与平面平行13【06重庆理】对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线14【06福建理】对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（A）若则 （B）若则（C）若则（D）若、与所成的角相等，则15【06湖北理】关于直线、与平面、，有下列四个命题： 若，且，则； 若，且，则； 若，且，则； 若，且，则。其中真命题的序号式A B C D16【06辽宁文】给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是
5、（A）1 （B）2 （C）3 （D）417【06全国理】如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，则（A） （B） （C） （D）18【06全国文】如图（同理科图），平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，若AB=12，则（A）4 （B）6 （C）8（D）9二、填空题1【06安徽理】多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3； 4； 5； 6；
6、 7以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）2【06安徽文】平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：1； 2； 3； 4； 以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）3【06山东文】如图，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面 的距离为。4【06北京理】已知三点在球心为，半径为的球面上，且，那么两点的球面距离为 ，球心到平面的距离为_。5【06天津理】如图，在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点到平面的距离为_。6【06天津文】如图（同理科图），在正三棱柱中，若二面角的大小为，则点到直线的距离为
7、。7【06浙江理】（如图，在6题上）正四面体ABCD的棱长为l，棱AB平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是_。8【06辽宁理】若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_。9【06全国理】已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为，则侧面与底面所成的二面角为_。10【06四川文】是空间两条不同直线，是空间两条不同平面，下面有四个命题： 其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）。三、计算题1【06广东】 如图所示，、分别是、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,。（I）求二面角的大小；（II）求直线与所成的角.【解】（I）AD与两圆所在的平面均垂直，
8、ADAB，ADAF，故BAF是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABFC是正方形，所以BAF450.即二面角BADF的大小为450；（II）以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则，），所以，设异面直线BD与EF所成角为，则。直线BD与EF所成的角为。2【06安徽理】如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。（）证明；（）求面与面所成二面角的大小。【解】本小题主要考察直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考察思维能力和空间想象能力；考查应用向量知识解决立体几何问题的能力。满分12分。方法一
9、：连结AD，则易知AD与BF的交点为O。（I）证法1：又证法2: （II）设M为PB的中点，连结AM，MD。斜线PB在平面ABC内的射影为OB，。又 因此，为所求二面角的平面角。在正六边形ABCDEF中，在Rt 在Rt，则 在中，由余弦定理得因此，所求二面角的大小为方法二：由题设条件，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图。由正六边形的性质，可得在中， 故 因而有（I）证明：因 故所以（II）设M为PB的中点，连结AM, MD, 则M点的坐标 因此，为所求二面角的平面角。 因此，所求二面角的大小为。3【06北京理】 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（）求证：；（
10、）求证：平面；（）求二面角的大小.【解】 解法一：（）PA平面ABCD， AB是PB在平面ABCD上的射影，又ABAC，AC平面ABCD，ACPB.（）连接BD，与AC相交与O，连接EO，ABCD是平行四边形 O是BD的中点又E是PD的中点， EOPB.又PB平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC，（）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是PAD的中位线， EFPA又平面， EF平面同理FO是ADC的中位线，FOABFOAC由三垂线定理可知EOF是二面角EACD的平面角. 又FOABPAEF。EOF45而二面角与二面角EACD互补，故所求二面角的大小为135.解法二：（）建立空间直角
11、坐标系Axyz，如图。设AC=a，PA=b。则有A（0,0,0）、B（0,b,0）、C（a,0,0）、P（0,0,b）， 从而， 。（）连结BD，与AC相交于O，连结EO。由已知得，又， ， ，又PB平面AEC，EO平面AEC。 PB平面AEC。（）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为，又是二面角的平面角。二面角的大小为4【06北京文】如图，是正四棱柱。（I）求证：BD平面；（II）若二面角的大小为60，求异面直线BC1与AC所成角的大小。【解】解法一：（） 是正四棱柱， CC1平面ABCD， BDCC1， ABCD是正方形， BDAC又 AC，CC1平面，且ACCC1=C， BD平面（II
12、）设BD与AC相交于O，连接C1O。 CC1平面ABCD，BDAC， BDC1O， C1OC是二面角的平面角， C1OC=60。连接A1B A1C1AC， A1C1B是异面直线BC1与AC所成角。设BC=a，则CO=，CC1=CO，A1B=BC1= ，。在A1B1C1中，由余弦定理得 ， A1C1 B=， 异面直线BC1与 AC所成的角的大小为。解法二：（I）建立空间直角坐标系Dxyz，如图。设AD=a，DD1=b，则有D（0,0,0），A（a,0,0,）、B（a,a,0,）、C（0,a,0,）、C1（0,a,b,）， ， ， 。 又AC，CC1平面，且ACCC1=C， BD平面（）设BD与AC相交于O，连接C1O，则点O坐标为， ， BDC1O ，又BDCO C1OC是二面角的平面角， C1OC=60。 ， 。 ， 异面直线BC1与 AC所成的角的大小为。5【06山东文】 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又.（）求异面直接与所成角的余弦值；（）求二面角的大小；（）设点M
