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1、例谈初中数学思想方法东莞市可园中学 李永义【摘要】： 本文通过对具体的数学问题的分析来阐述了特殊与一般思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体思想、化归思想、几何变换思想以及方程与函数思想等数学思想方法在初中数学中的应用。【关键词】：初中数学；思想方法；特殊与一般；分类讨论；数形结合；整体思想；化归思想；几何变换思想；方程与函数思想数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中锤炼升华的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，是将数学知识转化为数学能力的桥梁，是数学的精髓，是数学科学和数学学科固有的灵魂，是数学素养的集中
2、体现，只有充分掌握领会数学思想才能有效提高应用数学知识的能力。初中数学思想主要包括特殊与一般思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想、整体思想、几何变换思想、函数与方程思想等。1特殊与一般思想特殊与一般思想是指：对于在一般情况下难以求解的问题，可以运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解，包含从“特殊到一般”和“一般到特殊”两个相反方向的思路。例1(2007年青岛中考题改编). 如图1，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，PBC与ABC和DBC的面积之间有什么关系？图2ABCDP图3ABCDPABCDP图1解析：为了解决这个问题
3、，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当APAD时（如图2）：APAD，ABP和ABD的高相等，SABPSABD PDADAPAD，CDP和CDA的高相等，SCDPSCDA SPBC S四边形ABCDSABPSCDPS四边形ABCDSABDSCDAS四边形ABCD(S四边形ABCDSDBC)(S四边形ABCDSABC)SDBCSABC （2）按照这种思路我们可以得到：当APAD时（如图3）SPBCSDBCSABC 当APAD（n表示正整数）时，SPBCSDBCSABC 当APAD（n表示正整数）时，SPBCSDBCSABC 本题从特殊情况入手，发现解题的思路技巧，并用此思路技巧解决更
4、一般的问题，将结论进行推广，从而达到解决问题的途径。例2（2010年东莞市中考题）阅读下列材料：由以上三个等式相加，可得读完以上材料，请你计算下各题：（1）（写出过程）；（2）；（3） 本题先研究问题的几种特殊情形，再探索并归纳出一般性的结论或规律，然后运用归纳出的规律解决具体问题。2.分类讨论思想分类讨论的思想是指当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。例3（2010年福建宁德中考题改编）如图4，
5、在梯形ABCD中，ADBC，B90，BC6，AD3，DCB30.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边EFG设E点移动距离为x（0x6）.若EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求y与x之间的函数关系式。图4B E F CA DG解析：随着E点移动的距离不同，EFG与梯形ABCD重叠部分图形也不同，因此我们要根据x的不同取值分三种情况进行讨论：当0x2时，EFG在梯形ABCD内部，如图4,所以yx2；当2x3时，如图5，点E、点F在线段BC上，EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，FNCFCN30,FNFC6
6、2x.GN3x6.由于在RtNMG中，G60，所以，此时 yx2（3x6）2.当3x6时，如图6，点E在线段BC上，点F在射线CH上，EFG与梯形ABCD重叠部分为ECP，EC6x,B E F CA DGNM图5B E C FA DGPH图6y（6x）2. 当题目中满足条件的图形形状不能确定时，就应根据题意，构造符合题意的各种图形，动中取静，然后分情况加以讨论。对于含有参数的方程、不等式及函数等问题，通常要运用分类讨论的思想来处理。3. 数形结合思想数形结合是研究数学问题的有效途径和重要策略，它体现了数学的和谐美、统一美。数形结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具，同时也使许多代数问题具有了显
7、明的直观性。数形结合是初中数学中十分重要的思想，在数学问题的解决中具有数学独特的策略指导与调节作用。 解析：初中生直接去解这个问题非常困难。但是若利用 “两点间距离公式”，则这个问题变成了一个几何问题。 解题思路： 把两个根式进行变形：它们分别表示平面直角坐标系中位于x轴上的点M（x，0）到A（-2，3）的距离及点M（x，0）到B（1，1）的距离。（见图7）图7图8 就是说 = |AM| + |MB|这样原来的代数的问题现在变成了一个几何问题：在x轴上找一点M使得|AM| + |MB| 最小，因为A（-2，3）关于x轴的对称点就是A（-2，-3）所以y的最小值= |AB| = = 5。（见图8
8、）图9F4.整体思想所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。5化归思想化归思想,指的是转化与归结.即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,选择恰当的方法进行转化,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题,从而最终解决原问题的一种思想. 如未知向已知转化;复杂问题向简单问题转化;命题之间的转化;数与形的转化;空间向平面的转化;高次向低次的转化;多元向一元的转化;无限向有限的转化等,都是化归思想的体现.图10图1
9、1例10（2006年东莞市中考试题）如图10，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_(结果保留根式)。解析：将圆柱侧面沿母线AD展开，得到如图11所示的矩形，从而将曲面上的问题转化为平面上的问题，最短路线即为线段AC的长度，即为。6几何变换思想几何变换就是几何图形在平面上满足某种条件的运动，运用几何变换可以把分散的点、线段、角等已知图形转移到恰当的位置，从而使分散的条件都集中在某个图形中，建立起新的联系，从而使问题得以转化解决。在初中数学中，几何变换主要有平移变换、对称变换和旋转变
10、换等三种。图12图13图14例14. （2008年东莞市中考试题）（1）如图15，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；CBOD图15ABAODCE图16（2）如图16，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠)，求AEB的大小. 7.方程与函数思想方程与函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的意义。对一个较为复杂的问题，常常只须寻找等量关系，列出一个或几个方程（方程组）或函数关系式，就能很好地得到解决
11、。图17例16. k为何值时，方程x2-3x+k=0的一根大于1，另一根小于1？图27解析：运用函数思想，将方程左边看作一个二次函数y=x2-3x+k，则方程x2-3x+k=0的根就是使函数y=x2-3x+k的值为0的自变量的值，即抛物线与x轴的交点（如图27）的横坐标。又因为抛物线开口向上，所以只要满足x=1时，y0即可。即-2+k0，得k2本题运用函数思想来处理问题方程的根的问题，方法新颖，思路独特，直观明了，大大简化解题过程。数学思想是对数学概念、方法和理论的本质认识，具有普遍意义和相对稳定的特征。数学思想方法确立后，便超越了具体的数学概念和内容，只以抽象的形式而存在，控制及调整具体结论
12、的建立、联系和组织，并以其为指引将数学知识灵活地运用到一切适合的范畴中去解决问题。数学思想方法不仅会对数学思维活动、数学审美活动起着指导作角，而且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响，形成数学学习效果的广泛迁移，甚至包括从数学领域向非数学领域的迁移，实现思维能力和思想素质的飞跃。【参考文献】：1 王伟. 数学变式百例精讲M. 宁波出版社,20062马小为.中学数学解题思想方法技巧M.陕西师范大学出版社，20063钱佩玲.中学数学思想方法 M.北京师范大学出版集团，20104林培榕.数学思想方法创新与应用能力的培养M.厦门大学出版社，20095许世红.平面几何解题中应用几何变换的教学研究J.中学数学教学参考，2008，8
