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1、5简单复合函数的求导法则学习目标1了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则2能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(axb)的导数)知识链接复合函数求导应注意哪些问题？答复合函数求导时应注意：函数是由哪两个函数复合而成的中间变量应选择简单初等函数，判断一个函数是否是简单初等函数的标准是：存在求导公式则直接求导，弄清各分解函数中应对哪个变量求导，对一个函数的复合关系的分解予以足够的重视，要用换元的思想及基本初等函数的观点来理解复合关系，理解复合函数的概念预习导引1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和u(x)axb，给定x的一个值，就
2、得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数yf(u)和u(x)的复合函数，记作yf(x)，其中u为中间变量2简单复合函数的求导法则若yf(u)，u(x)，则yxyuux.特别地，当uaxb时，yxayu.3求复合函数导数的步骤求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系yf(u)，ug(x)；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求yu，再求ux；(3)计算yuux，并把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数整个过程可简记为分解求导回代熟练以后，可以
3、省略中间过程要点一复合函数的定义例1指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y(35x)2；(2)ylog3(x22x5)；(3)ycos 3x.解(1)y(35x)2是由函数yu2，u35x复合而成的(2)ylog3(x22x5)是由函数ylog3u，ux22x5复合而成的(3)ycos 3x是由函数ycos u，u3x复合而成的规律方法分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y关于u的函数关系，u关于x的函数关系跟踪演练1指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)yln；(2)yesin x；(3)ycos(x1)解(1)yln u，u；(2)yeu，usin x；(3)ycos u，ux
4、1.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)yln(x2)；(2)ysin3 x.解(1)yln u，ux2，yxyuux(ln u)(x2)1.(2)yu3，usin x，yxyuux(u3)(sin x)3u2cos x3sin2xcos x，即y3sin2xcos x.规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导(4)善于把一部分表达式作为一个整体(5)最后要把中间变量换成自变量的函数熟练后，就不必再写中间步骤跟踪
5、演练2求下列函数的导数：(1)ye2x1；(2)y(2)2.解(1)yeu，u2x1，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)法一y(2)2x44，yx(4)414 1.法二令u2，则yxyuux2(2)(2)2(2)1.要点三导数的应用例3求曲线ye2x1在点处的切线方程解ye2x1(2x1)2e2x1，y| 2，曲线ye2x1在点处的切线方程为y12，即2xy20.规律方法求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法跟踪演练3曲线yesin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程解设usin x，
6、则y(esin x)(eu)(sin x)cos xesin x，y|x01.则切线方程为y1x0，即xy10若直线l与切线平行可设直线的l方程为xyc0.两平行线间的距离dc3或c1.故直线l的方程为xy30或xy10.1函数y(3x2)2的导数为()A2(3x2) B6xC6x(3x2) D6(3x2)答案D解析y2(3x2)(3x2)6(3x2)2若函数ysin2x，则y等于()Asin 2x B2sin xCsin xcos x Dcos2x答案A解析y2sin x(sin x)2sin xcos xsin 2x.3若yf(x2)，则y等于()A2xf(x2) B2xf(x)C4x2f
7、(x) Df(x2)答案A解析设x2u，则yf(u)uxf(x2)(x2)2xf(x2)4设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.答案2解析由题意知y|x0aeax|x0a2.求简单复合函数f(axb)的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数yf(u)，uaxb的形式，然后再分别对yf(u)与uaxb分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为yf(u)，uaxb的形式是关键一、基础达标1下列函数不是复合函数的是()Ayx31 BycosCy Dy(2x3)4答案A解析A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数ux，
8、ycos u的复合函数，C中的函数可看作函数uln x，y的复合函数，D中的函数可看作函数u2x3，yu4的复合函数，故选A.2函数y的导数是()A. B.C D答案C解析y(3x1)，故选C.3函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2x答案B解析y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(2sin 2x)2xcos 2x2x2sin 2x.4已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2 C1 D2答案B解析设直线y
9、x1切曲线yln(xa)于点(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)，又y，y|xx01，即x0a1.又y0ln(x0a)，y00，x01，a2.5函数y(2 0158x)3的导数y_.答案24(2 0158x)2解析y3(2 0158x)2(2 0158x)3(2 0158x)2(8)24(2 0158x)2.6曲线ycos在x处切线的斜率为_答案2解析y2sin，切线的斜率k2sin2.7求下列函数的导数：(1)y(12x2)8；(2)y；(3)ysin 2xcos 2x；(4)ycos x2.解(1)设yu8，u12x2，y(u8)(12x2)8u74x8(12x2)74x32x
10、(12x2)7.(2)设y，u1x2，则y(1x2)(2x)x(1x2) .(3)y(sin 2xcos 2x)(sin 2x)(cos 2x)2cos 2x2sin 2x2sin (2x)(4)设ycos u，ux2，则y(cos u)(x2)(sin u)2x(sin x2)2x2xsin x2.二、能力提升8曲线y在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2 B4e2 C2e2 De2答案D解析y，y|x4e2.曲线在点(4，e2)处的切线方程为ye2e2(x4)，切线与坐标轴的交点分别是(0，e2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积S|e2|2|e2.9若f
11、(x)log3(x1)，则f(2)_.答案解析f(x)log3(x1)，f(2).10若f(x)(2xa)2，且f(2)20，则a_.答案1解析f(x)2(2xa)24(2xa)，f(2)164a20，a1.11已知a0，f(x)ax22x1ln(x1)，l是曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线求切线l的方程解f(x)ax22x1ln(x1)，f(0)1.f(x)2ax2，f(0)1，切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为1，切线l的方程为xy10.12有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为ss(t)5.求函数在t s时的导数，并解释
12、它的实际意义解函数s5可以看作函数s5和x259t2的复合函数，其中x是中间变量由导数公式表可得sxx，xt18t.故由复合函数求导法则得stsxxt(18t)，将t代入s(t)，得s0.875 (m/s)它表示当t s时，梯子上端下滑的速度为0875 m/s.三、探究与创新13曲线ye2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程解y(e2x)cos 3xe2x(cos 3x)2e2xcos 3x3e2xsin 3x，y|x02.经过点(0,1)的切线方程为y12(x0)，即y2x1.设适合题意的直线方程为y2xb，根据题意，得，b6或4.适合题意的直线方程为y2x6或y2x4.
