《2020届北京海淀区高三数学一模试卷含答案--精品》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届北京海淀区高三数学一模试卷含答案--精品（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学第1页 共 6 页 海淀区高三年级第二学期阶段性测试 数学 2020 春 本试卷共6 页 150 分 考试时长120 分钟 考生务必将答案答在答题纸上 在试卷上作 答无效 考试结束后 将本试卷和答题纸一并交回 第一部分 选择题共 40 分 一 选择题共10 小题 每小题4 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要 求的一项 1 在复平面内 复数i 2i 对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知集合 03 Axx ABI 1 则集合B可以是 3 已知双曲线 2 2 2 1 0 y xb b 的离心率为5 则b的值为 A 1 B 2 C
2、3 D 4 4 已知实数a b c 在数轴上对应的点如图所示 则下列式子中正确的是 A baca B 2 cab C cc ba D b ca c 5 在 61 2 x x 的展开式中 常数项为 A 120 B 120 C 160 D 160 A 1 2 B 1 3 C 0 1 2 D 1 2 3 数学第2页 共 6 页 6 如图 半径为 1的圆M与直线 l 相切于点A 圆M沿着直线l滚动 当圆M滚动到圆M 时 圆M与直线 l 相切于点B 点A运动到点A 线段AB的长度为 3 2 则点M到直 线BA的距离为 A 1 B 3 2 C 2 2 D 1 2 7 已知函数 f xxm 与函数 g x
3、的图象关于y轴对称 若 g x 在区间 1 2 内单调递 减 则 m 的取值范围为 A 1 B 1 C 2 D 2 8 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥中最长棱的棱长为 A 5 B 22 C 2 3 D 13 9 若数列 n a满足 1 2 a 则 p r N prpr aa a 是 n a为等比数列 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 10 形如 2 21 n n是非负整数 的数称为费马数 记为 n F 数学家费马根据0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 都是质数提出了猜想 费马数都是质数 多年之后 数学家欧拉计算出 5 F 不是质
4、数 那 么 5 F 的位数是 参考数据 lg20 3010 A 9 B 10 C 11 D 12 俯视图 左视图主视图 1 1 2 2 数学第3页 共 6 页 第二部分 非选择题共 110 分 二 填空题共5 小题 每小题5 分 共 25 分 11 已知点 1 2 P在抛物线 2 2C ypx上 则抛物线 C 的准线方程为 12 在等差数列 n a 中 1 3a 25 16aa 则数列 n a 的前4项的和为 13 已知非零向量a b满足 aab 则 1 2 abb 14 在 ABC中 4 3AB 4 B 点 D 在边BC上 2 3 ADC 2CD 则AD ACD的面积为 15 如图 在等边三
5、角形ABC 中 6AB 动点P从点 A出发 沿着此三角形三边逆时针运 动回到A点 记P运动的路程为x 点P到此三角形中心O 距离的平方为 f x 给出下 列三个结论 函数 f x 的最大值为 12 函数 f x 的图象的对称轴方程为9x 关于 x的方程 3f xkx最多有 5 个实数根 其中 所有正确结论的序号是 注 本题给出的结论中 有多个符合题目要求 全部选对得5 分 不选或有错选得0 分 其他得3 分 O B C A P 数学第4页 共 6 页 三 解答题共6 小题 共85 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 16 本小题共14 分 如图 在三棱柱 111 ABCAB C中 AB
6、平面11 BBC C 1 22ABBBBC 1 3BC 点E为 11 AC的中点 求证 1 C B平面ABC 求二面角ABCE的大小 17 本小题共14 分 已知函数 2 12 2cossinfxx x 求 0 f的值 从 1 1 2 2 1 1 2 1这两个条件中任选一个 作为题目的已知条件 求函数 f x 在 2 6 上的最小值 并直接写出函数 f x 的一个周期 注 如果选择两个条件分别解答 按第一个解答计分 E C A B 数学第5页 共 6 页 18 本小题共14 分 科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素 也是推动经济实现高质量发 展的重要支撑 而研发投入是科技创新的基本
7、保障 下图是某公司从2010 年到 2019 年这 10 年研发投入的数据分布图 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比 条形图是当年研发投入的数值 单位 十亿元 从 2010 年至 2019 年中随机选取一年 求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10 的概率 从 2010 年至 2019 年中随机选取两个年份 设 X 表示其中研发投入超过500 亿元的年份 的个数 求 X 的分布列和数学期望 根据图中的信息 结合统计学知识 判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发 并 说明理由 18 24 30 32 41 60 76 90 88 98 9 7 11 6 13 5 13 2 14
8、2 15 1 14 6 14 9 14 7 13 9 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 10 0 12 0 14 0 16 0 0 20 40 60 80 100 120 2010201120122013201420152016201720182019 研发投入研发投入占营收 数学第6页 共 6 页 19 本小题共15 分 已知函数 exf xax 当1a时 求曲线 yf x在点 0 0 f处的切线方程 求函数 f x的最小值 求证 当 2a 0 时 曲线 yf x与1lnyx有且只有一个交点 20 本小题共14 分 已知椭圆 22 22 1 xy C ab 0 ab的离心率为 3 2
9、1 0 Aa 2 0 Aa 0 Bb 12 A BA的面积为2 求椭圆C的方程 设 M 是椭圆C上一点 且不与顶点重合 若直线 1 A B与直线 2 A M交于点 P 直线 1 A M 与直线 2 A B交于点 Q 求证 BPQ为等腰三角形 21 本小题共14 分 已知数列 na是由正整数组成的无穷数列 若存在常数 kN 使得 212nnn aaka对 任意的 nN成立 则称数列 n a具有性质 k 分别判断下列数列 n a是否具有性质 2 直接写出结论 1 n a 2 n n a 若数列 n a满足 1n a 1 2 3 n anL 求证 数列 n a具有性质 2 是 数列 n a 为常数列
10、 的充分必要条件 已知数列 n a中 1 1a 且 1 1 2 3 nn aa nL 若数列 n a具有性质 4 求数列 n a 的通项公式 数学第7页 共 6 页 海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案 数学2020 春 阅卷须知 1 评分参考中所注分数 表示考生正确做到此步应得的累加分数 2 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分 一 选择题共10 小题 每小题4 分 共 40 分 题号12345678910 答案ABBDCCDCAB 二 填空题 本大题共5 小题 每小题5 分 共 25 分 题号1112131415 答案1x 24 0 4 2 2 6 注 第 14题第一空3分 第二
11、空2分 第15题全部选对得5分 不选或有错选得 分 其他 得 3分 三 解答题共6 小题 共85 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 16 解 因为AB平面 11 BBC C 1 C B 平面 11 BB C C 所以 1 ABC B 在 1 BCC 中 1BC 1 3BC 1 2CC 所以 222 11 BCBCCC 所以 1 CBC B 因为ABBCBI AB BC平面ABC 所以 1 C B 平面ABC 由 知 1 ABC B 1 BCC B ABBC 如图 以B为原点建立空间直角坐标系 Bxyz 0 数学第8页 共 6 页 则 0 0 0 B 1 3 1 2 E 1 0 0 C
12、 1 0 0 BC u uu r 1 3 1 2 BE uu u r 设平面 BCE的法向量为 x y zn 则 0 0 BC BE uu u r uu u r n n 即 0 1 30 2 x xyz 令3y则0 x 3z 所以 0 3 3 n 又因为平面ABC的法向量为 0 1 0 m 所以 1 cos 2 m n m n mn 由题知二面角ABCE为锐角 所以其大小为 3 17 解 2 0 2cos 0sin02f 选择条件 f x 的一个周期为 2 2cossin 2f xxx cos21 sin 2xx 22 2 sin 2cos2 1 22 xx 2sin 2 1 4 x 因为 2
13、 6 x 所以 37 2 4412 x 所以1sin 2 1 4 x 所以12 12f x 数学第9页 共 6 页 当 2 42 x时 即 3 8 x时 f x 在 2 6 取得最小值 12 选择条件 f x 的一个周期为2 2 2cossinf xxx 2 2 1sin sinxx 2117 2 sin 48 x 因为 2 6 x 所以 1 sin 1 2 x 所以当 sin 1x时 即 2 x时 f x 在 2 6 取得最小值1 18 解 设事件A 为 从 2010 年至 2019 年中随机选取一年 研发投入占当年总营收 的百分比超过10 从 2010 年至 2019 年一共 10 年 其
14、中研发投入占当年总 营收的百分比超过10 有 9 年 所以 9 10 P A 由图表信息 从2010 年至 2019 年 10 年中有 5 年研发投入超过500 亿元 所以 X 的所有可能取值为0 1 2 且 2 5 2 10 C2 0 C9 P X 11 55 2 10 C C5 1 C9 P X 2 5 2 10 C2 2 C9 P X 所以 X 的分布列为 X 012 P 2 9 5 9 2 9 故 X 的期望 252 0121 999 E X 数学第10页 共 6 页 本题为开放问题 答案不唯一 要求用数据说话 数据可以支持自己的结论 即可 阅卷时按照上述标准酌情给分 19 解 当1a
15、时 e x xf x 则 1 e x fx 所以 0 0 f 又 0 1f 所以曲线 yf x 在点 0 0 f处的切线方程为1y 令 0fx 得0 x 此时 f x f x 随x的变化如下 可知 min 01 f xf 函数 f x 的最小值为1 由题意可知 0 x 令l 1 en x gaxxx 则 1 e x ga x x 由 中可知 e1 x x 故e1 x x 因为2 0a 则 11 1 e x gaxa x x x 1 2130 xaa x 所以函数 g x 在区间 0 上单调递增 因为 11 e2 1 e2e20 ee a g 所以 g x 有唯一的一个零点 即函数 yf x 与
16、1lnyx 有且只有一个交点 x 0 0 0 fx 0 f x 极小值 数学第11页 共 6 页 20 解 由题 222 3 2 2 c a ab abc 解得 2 1 a b 所以椭圆方程为 2 2 1 4 x y II 解法 1 证 明 设 直 线 2 A M方 程 为 1 2 0 2 yk xkk且 直 线 1 A B方 程 为 1 1 2 yx 由 2 1 1 2 yk x yx 解得点 424 21 21 kk P kk 由 2 2 2 1 4 yk x x y 得 222 41 161640kxk xk 则 2 2 164 2 41 M k x k 所以 2 2 82 41 M k x k 2 4 41 M k y k 即 2 22 824 41 41 kk M kk 1 2 2 2 4 1 41 824 2 41 A M k k k kk k 于是直线 1A M 的方程为 1 2 4 yx k 直线 2A B 的方程为 1 1 2 yx 由 1 2 4 1 1 2 yx k yx 解得点 422 21 21 k Q kk 数学第12页 共 6 页 于是 PQ xx 所以
