《高中数学 （1.3 三角函数的诱导公式）教案 新人教A版必修4（整理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 （1.3 三角函数的诱导公式）教案 新人教A版必修4（整理）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学海无涯 1 3 1 3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 整体设计整体设计 教学分析教学分析 本节主要是推导诱导公式二 三 四 并利用它们解决一些求解 化简 证明问题 本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续 又是后继学习内容的基础 它们与 公式一组成的六组诱导公式 用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化 简 证明等问题 在诱导公式的学习中 化归思想贯穿始末 这一典型的数学思想 无论在本节中的分析导 入 还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值 均清晰地得到 体现 在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中 让学生了解化归思想 形成初步的化归
2、意识 特别是在本课时的三个转化问题引入后 为什么确定 180 角为第一研究对象 角为第二研究对象 正是化归思想的运用 公式二 公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于 90 的非负角 但是 在推导中却把 拓广为任意角 这一思维上的转折使学生难以理解 甚至会导致对其必要性 的怀疑 因此它成为本课时的难点所在 课本例题实际上是诱导公式的综合运用 难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任 意角 学生第一次接触到此题型 思维上有困难 要多加引导分析 另外 诱导公式中角度制亦 可转化为弧度制 但必须注意同一个公式中只能采取一种制度 因此要加强角度制与弧度制 的转化的练习 三维目标三维目标 1
3、通过学生的探究 明了三角函数的诱导公式的来龙去脉 理解诱导公式的推导过程 培 养学生的逻辑推理能力及运算能力 渗透转化及分类讨论的思想 2 通过诱导公式的具体运用 熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值 化简和证 明问题 体会数式变形在数学中的作用 3 进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想 通过一题多解 一题多变 多题归 一 提高分析问题和解决问题的能力 重点难点重点难点 教学重点 五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用 三角函数式的求值 化简和 证明等 教学难点 六组诱导公式的灵活运用 课时安排课时安排 2 课时 教学过程教学过程 第 1 课时 导入新课导入新课 思路思路 1
4、1 利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值 复习诱导公式一及其用途 思路思路 2 2 在前面的学习中 我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等 即公式一 并 且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0 到360 0到2 内的角的三角 函数值 求锐角三角函数值 我们可以通过查表求得 对于 90 到 360 2 到 2 范围内的 角的三角函数怎样求解 能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解 这 一节就来探讨这个问题 学海无涯 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 由公式一把任意角 转化为 0 360 内的角后 如何进一步求出它的三角函数值 活动活动 在初中学习
5、了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得 特殊角的三角函数值 学生记住了 对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得 教师可组 织学生思考讨论如下问题 0 到 90 的角的正弦值 余弦值用何法可以求得 90 到 360 的角 能否与锐角 相联系 通过分析 与 的联系 引导学生得出解决设问的一种思路 若能把求 90 360 内的角 的三角函数值 转化为求有关锐角 的三角函数值 则问 题将得到解决 适时提出 这一思想就是数学的化归思想 教师可借此向学生介绍化归思想 图 1 讨论结果讨论结果 通过分析 归纳得出 如图 1 360 270 360 270 180 180 180 90
6、180 a a a 提出问题提出问题 锐角 的终边与 180 角的终边位置关系如何 它们与单位圆的交点的位置关系如何 任意角 与 180 呢 活动活动 分 为锐角和任意角作图分析 如图 2 图 2 引导学生充分利用单位圆 并和学生一起讨论探究角的关系 无论 为锐角还是任意角 180 的终边都是 的终边的反向延长线 所以先选择 180 为研究对象 利用图形还可以直观地解决问题 角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对 称的 对应点的坐标分别是 P x y 和 P x y 指导学生利用单位圆及角的正弦 余弦函数的定义 导出公式二 sin 180 sin cos 180 cos 并指导学生写出角
7、为弧度时的关系式 sin sin cos cos tan tan 学海无涯 引导学生观察公式的特点 明了各个公式的作用 讨论结果讨论结果 锐角 的终边与 180 角的终边互为反向延长线 它们与单位圆的交点关于原点对称 任意角 与 180 角的终边与单位圆的交点关于原点对称 提出问题提出问题 有了以上公式 我们下一步的研究对象是什么 角的终边与角 的终边位置关系如何 活动活动 让学生在单位圆中讨论 与 的位置关系 这时可通过复习正角和负角的定义 启发 学生思考 任意角 和 的终边的位置关系 它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标 探索 概括 对照公式二的推导过程 由学生自己完成公式三的推导 即 s
8、in sin cos cos tan tan 教师点拨学生注意 无论 是锐角还是任意角 公式均成立 并进一步引导学生观察分析公 式三的特点 得出公式三的用途 可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值 讨论结果讨论结果 根据分析下一步的研究对象是 的正弦和余弦 角的终边与角 的终边关于 x 轴对称 它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等 纵坐标互为相反数 提出问题提出问题 下一步的研究对象是什么 角的终边与角 的终边位置关系如何 活动活动 讨论 与 的位置关系 这时可通过复习互补的定义 引导学生思考 任意角 和 的终边的位置关系 它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标 探索 概括 对 照公
9、式二 三的推导过程 由学生自己完成公式四的推导 即 sin sin cos cos tan tan 强调无论 是锐角还是任意角 公式均成立 引导学生观察分析公式三的特点 得出公式四的用途 可将求 角的三角函数值转化为 求角 的三角函数值 让学生分析总结诱导公式的结构特点 概括说明 加强记忆 我们可以用下面一段话来概括公式一 四 k 2 k Z Z 的三角函数值 等于 的同名函数值 前面加上一个把 看 成锐角时原函数值的符号 进一步简记为 函数名不变 符号看象限 点拨 引导学生注意公式中的 是任意角 讨论结果讨论结果 根据分析下一步的研究对象是 的三角函数 角的终边与角 的终边关于 y 轴对称
10、它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相 等 横坐标互为相反数 示例应用示例应用 思路思路 1 1 例 1 利用公式求下列三角函数值 1 cos225 2 sin 3 11 3 sin 3 16 4 cos 2 040 活动活动 这是直接运用公式的题目类型 让学生熟悉公式 通过练习加深印象 逐步达到熟 练 正确地应用 让学生观察题目中的角的范围 对照公式找出哪个公式适合解决这个问题 学海无涯 解 解 1 cos225 cos 180 45 cos45 2 2 2 sin 3 11 sin 4 3 sin 3 2 3 3 sin 3 16 sin 3 16 sin 5 3 sin 3 2 3 4
11、cos 2 040 cos2 040 cos 6 360 120 cos120 cos 180 60 cos60 2 1 点评点评 利用公式一 四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数 一般可按下列步骤进行 上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法 变式训练变式训练 利用公式求下列三角函数值 1 cos 510 15 2 sin 3 17 解解 1 cos 510 15 cos510 15 cos 360 150 15 cos150 15 cos 180 29 45 cos29 45 0 868 2 2 sin 3 17 sin 3 3 2 sin 3 2 3 例 2 2007 全
12、国高考 1 cos330 等于 A 2 1 B 2 1 C 2 3 D 2 3 答案答案 C 变式训练变式训练 化简 790cos250sin 430cos290sin21 学海无涯 解解 790cos250sin 430cos290sin21 70720cos 70180sin 70360cos 70360sin 21 70sin70cos 70sin70cos 70cos70sin 70cos70sin21 1 70sin70cos 70cos70sin 例 3 化简 cos315 sin 30 sin225 cos480 活动活动 这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形 求值与证明的题目
13、利用诱导公式将有关角 的三角函数化为锐角的三角函数 再求值 合并 约分 解解 cos315 sin 30 sin225 cos480 cos 360 45 sin30 sin 180 45 cos 360 120 cos 45 2 1 sin45 cos120 cos45 2 1 2 2 cos 180 60 2 2 2 1 2 2 cos60 1 点评点评 利用诱导公式化简 是进行角的转化 最终达到统一角或求值的目的 变式变式训练训练 求证 tan 5sin cos 6cos 2sin 2tan 分析分析 利用诱导公式化简较繁的一边 使之等于另一边 证明证明 左边 5sin cos 6cos
14、 2sin 2tan sin cos cos sin tan sincos cossintan tan 右边 所以原式成立 规律总结规律总结 证明恒等式 一般是化繁为简 可以化简一边 也可以两边都化简 知能训练知能训练 课本本节练习 1 3 学海无涯 解答解答 1 1 cos 9 4 2 sin1 3 sin 5 4 cos70 6 点评 点评 利用诱导公式转化为锐角三角函数 2 1 2 1 2 2 1 3 0 642 8 4 2 3 点评 点评 先利用诱导公式转化为锐角三角函数 再求值 3 1 sin 2 cos 2 sin4 点评 点评 先利用诱导公式变形为角 的三角函数 再进一步化简 课
15、堂小结课堂小结 本节课我们学习了公式二 公式三 公式四三组公式 这三组公式在求三角函数值 化 简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的 为了记牢公式 我们总结了 函数名不变 符号看象限 的简便记法 同学们要正确理解这句话的含义 不过更重要的还是应用 我们要 多加练习 切实掌握由未知向已知转化的化归思想 作业作业 课本习题 1 3 A 组 2 3 4 设计感想设计感想 一 有关角的终边的对称性 1 角 的终边与角 的终边关于原点对称 2 角 的终边与角 的终边关于 x 轴对称 3 角 的终边与角 的终边关于 y 轴对称 二 三角函数的诱导公式应注意的问题 1 k 2 k Z Z 的三角函数值等
16、于 的同名函数值 前面加上一个把 看成锐角时原函数的符号 可简单记忆为 函数名不变 符号看象限 2 公式中的 是任意角 3 利用诱导公式一 二 三 四 可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值 基本步骤是 任意负角的三角函数 公式三或一 相应的正角的三角函数 公式一 0到2 角 的三角函数 四公式二 锐角的三角函数 查表三角函数 即负化正 大化小 化为锐角再查表 设计者 沈献宏设计者 沈献宏 第第 2 2 课时课时 导入新课导入新课 上一节课我们研究了诱导公式二 三 四 现在请同学们回忆一下相应的公式 提问多名学生 上黑板默写公式 在此基础上 我们今天继续探究别的诱导公式 揭示课题 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 终边与角 的终边关于直线 y x 对称的角有何数量关系 活动活动 我们借助单位圆探究终边与角 的终边关于直线 y x 对称的角的数量关系 教师充分让学生探究 启发学生借助单位圆 点拨学生从终边关于直线 y x 对称的两个角之 间的数量关系 关于直线 y x 对称的两个点的坐标之间的关系进行引导 学海无涯 图 3 讨论结果讨论结果 如图 3 设任意角
