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1、排列组合与二项式定理综合提升讲义考点整合一两个原理.1. 乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。二排列：元素是有顺序的排列数公式或； ，规定。性质公式：三组合：元素没有顺序之分组合数公式：两个性质： 四排列、组合（7大方法+2大原则）1.直接法（分类相加，分步相乘） 2.间接法（互斥事件）3.捆绑法4.插空法5.隔板法 6.分类讨论法 7.单排法 1.先选后排原则 2.特殊优先原则 五二项式定理；公式右边的多项式叫做的二项展开式；展开式中各项的系数叫做二项式系数；二项展开式的通项：。的展开式：；若令，则有：，此为二项式系数之和！二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和
2、，即对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.典例解析：排列组合计算和证明一计算下列各题： 1.； 2.； 3. ； 4. 5. 6.求()的个位数字 7.；8.设 求的值解：1. ；2.原式；3.原式；4.，5.由原式；6.当时，的个位数为0，()的个位数字与的个位数字相同而，的个位数字为37.原式；8. 解：由题意可得： ，解得， 或或，当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值
3、为11所求值为4或7或11二解方程： （1）； （2）； （3）3 解不等式：解：（1）由原方程得或，或， 又由得且，原方程的解为或上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为，即，解得或，经检验：是原方程的解 （3）由排列数公式得：， ，即，解得 或，且，原方程的解为（4）原不等式即，也就是，化简得：，解得或，又，且，所以，原不等式的解集为三化简：； 解：原式提示：由，得， 原式 说明：四求证：1. ；2.3. 4.+5.（其中）。6.。7.。证明：1.，原式成立2.右边 原式成立3. ， 4.右边左边5.设某班有个男同学、个女同学，从中选出个同学
4、组成兴趣小组，可分为类：男同学0个，1个，个，则女同学分别为个，个，0个，共有选法数为。又由组合定义知选法数为，故等式成立。6.左边=，其中可表示先在个元素里选个，再从个元素里选一个的组合数。设某班有个同学，选出若干人（至少1人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数分类（），则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有种选法，再决定剩下的人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有种，所以选法总数为种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。7.由于可表示先在个元素里选个，再从个元素里选两个（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上，再指
5、定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有种选法。共有+种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。排列组合解法一直接法（分类相加，分步相乘）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有种方法，据乘法原理共有种方法.同理，完成第二类办法中有种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有种方法.某
6、公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A24种 B36种 C38种 D108种 解析本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C种分法，然后再分到两部门去共有CA种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C种方法，由分步乘法计数原理共有2CAC36(种)在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植
7、A、B两种作物，每种作物种植一垄,为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？解法一 如表格所示，用表示种植作物的地垄，表示未种植作物的地垄，则不同的选垄方法共有6种，由于A、B是两种作物，故不同的种植方法共有12种解法二 选垄方法可分为三类：第一类间隔为6垄，有18，29，310三种选法；第二类间隔为7垄，有19，210两种选法；第三类间隔为8垄，只有110种选法，故选垄方法共6种，种植方法共12种由五个数字能组成多少个大于的五位数？解法（一）本题没有说明是没有重复数字的五位数，所以数可以重复应用；用分类填空方法，第一类，3、4、5分别在万位的数共有种；
8、第二类，2在万位，千位上为4、5的数共有种；第三类，2在万位，千位上为3，百位为4、5的数共有种； 因此，满足条件的五位数共有2175种解法（二）用排除法（间接法）总数减去不合条件的数）这五个数字组成的五位数一共有种；其中万位是的数共有种；万位是千位上是，的数共有种；万位是千位是百位是、的数共有种，所以不合条件的数共有950种， 所以由1、2、3、4、5这五个数字能组成大于23400的五位数共2175种二间接法（互斥事件）从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种解析1：逆向思考，至少各一
9、台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种 【解析】直接法：一男两女,有C51C425630种,两男一女,有C52C4110440种,共计70种 间接法：任意选取C9384种,其中都是男医生有C5310种,都是女医生有C414种,于是符合条件的有8410470种.【答案】A高三年级的三个班到
10、甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.（A）16种 （B）18种 （C）37种 （D）48种解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：种方案.三捆绑法2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【答案】B【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、
11、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6212种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12448种不同排法。解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。此时共有12种排法 三类之和为
12、24121248种。 三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有种不同排法对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有对种不同的排法，因此共有种不同的排法 （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，
13、共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有种不同的排法 （3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有种不同的排法 解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有种不同的排法解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有种不同的排法，所以共有种不同的排法，（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制
