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1、图形的相似 1 1 了解比例的基本性质 黄金分割2 通过具体实例认识图形的相似 探索相似图形的性质 知道相似多边形的对应角相等 对应边成比例 面积的比等于对应边比的平方3 了解两个三角形相似的概念 探索两个三角形相似的条件4 了解图形的位似 能够利用位似将一个图形放大或缩小5 通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似 利用图形的相似解决一些实际问题6 从微观的角度去研究相似 用坐标来说明这种基本变换 知识要点 2 相似图形 定义 性质 相似三角形 定义 判定 性质 应用 画法 坐标 3 生活中我们会碰到许多这样形状相同的 大小不一定相同的图形 在数学上 我们把具有相同形状的图形称为 相似形
2、相似多边形的特征 对应边成比例 对应角相等 4 1 比例基本性质 5 思考 如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值 6 试一试身手 1 若a 3 b 7 则 a 3b 2b 2 若a 2 b 6 c 4 且a b c d成比例 则d 34若x 4 y 5 z 6 且3x 2y z 56 则x为 A8B10C12D16 7 相似三角形的判定 1 如果两个三角形的三组对应边的比相等 那么这两个三角形相似 2 如果两个三角形的两组对应边的比相等 并且相应的夹角相等 那么这两个三角形相似 3 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似 相似三角形的性质 1 对应边成比例
3、 对应角相等 2 相似三角形的周长比等于相似比 3 相似三角形的面积比等于相似比的平方 4 相似三角形的对应边上的高 中线 角平分线的比等于相似比 8 一 填空 选择题 1 如图 DE BC AD DB 2 3 则 AED和 ABC的相似比为 2 5 5 2cm 2 已知三角形甲各边的比为3 4 6 和它相似的三角形乙的最大边为10cm 则三角形乙的最短边为 cm 3 等腰三角形ABC的腰长为18cm 底边长为6cm 在腰AC上取点D 使 ABC BDC 则DC 9 4 如图 ADE ACB 则DE BC 5 如图 D是 ABC一边BC上一点 连接AD 使 ABC DBA的条件是 A AC B
4、C AD BDB AC BC AB ADC AB2 CD BCD AB2 BD BC6 D E分别为 ABC的AB AC上的点 且DE BC DCB A 把每两个相似的三角形称为一组 那么图中共有相似三角形 组 1 3 D 4 A B E D C 10 7 下列命题正确的是 D A 有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似 B ABC的三边长为3 4 5 A B C 的三边为a 3 a 4 a 5 则 ABC A B C C 若两个三角形相似 且有一对边相等 则它们的相似比为1 D 都有一内角为100 的两个等腰三角形相似 11 二 证明题 1 D为 ABC中AB边上一点 ACD ABC
5、求证 AC2 AD AB 2 ABC中 BAC是直角 过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E 交AB于D 连AM 求证 MAD MEA AM2 MD ME E 12 定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 重心 三角形三条边上的中线交于一点 这个点就是三角形的重心 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一 13 梯形的中位线 梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线 求梯形的比例问题时 可以利用化归思想 把梯形化归到三角形问题去解决 14 2 已知 ABC三边长分别为a b c 它的三条中位线组成 DEF DEF的三条中位线又
6、组成 HPN 则 HPN的周长等于 为 ABC周长的 面积为 ABC面积的 1 已知 三角形的各边分别为6cm 8cm 10cm 则连结各边中点所成三角形的周长为 cm 面积为 cm2 为原三角形面积的 15 相似三角形的应用 利用三角形相似 可证明角相等 线段成比例 或等积式 利用三角形相似 求线段的长等3 利用三角形相似 可以解决一些不能直接测量的物体的长度 如求河的宽度 求建筑物的高度等 16 3 如图 王华在晚上由路灯A走向路灯B 当他走到点P时 发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部 当他向前再行12m到达点Q时 发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部 已知王华的身高是1 6
7、m 两个路灯的高度都是9 6m 且AP QB xm 1 求两个路灯之间的距离 2 当王华走到路灯B时 他在路灯A下的影长是多少 解 x x 12 1 6 9 6 1 由题得 x 2x 12 1 6 9 6 解得 x 3m 两个路灯之间的距离是18m 17 2 当王华走到路灯B时 他在路灯A下的影长是多少 解 1 6 9 6 18 x 设他的影子长为xm 则由题得 x 18 x 1 6 9 6 解得x 3 6m 他的影子长为3 6m A B 18 用实战来证明自己 4 教学楼旁边有一颗树 学习了相似三角形后 数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高 课外活动时在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影
8、长是0 9m 但当他们马上测量树高时 发现树的影子不全落在地面上 有一部分落在教学楼的墙壁上 如图 经过一番争论 小组同学认为继续测量也可以求出树高 他们测得落在地面的影长2 7m 落在墙壁上的影长1 2m 请你和他们一起算一下 树高为多少 D B A C E H F G 解 首先在图上标上字母 过点C作CE AB 垂足为E 根据题意 可得 AEC FGH 2 7m 2 7m 1 2m 1 2m 1m 0 9 AE FG CE HG AE 1 2 7 0 9 AE 3m 树高AB 3 1 2 4 2m 19 5 如图 已知 AB DB于点B CD DB于点D AB 6 CD 4 BD 14 问
9、 在DB上是否存在P点 使以C D P为顶点的三角形与以P B A为顶点的三角形相似 如果存在 计算出点P的位置 如果不存在 请说明理由 20 解 1 假设存在这样的点P 使 ABP CDP 设PD x 则PB 14 x 6 4 14 x x 则有AB CD PB PD x 5 6 21 P 2 假设存在这样的点P 使 ABP PDC 则 则有AB PD PB CD 设PD x 则PB 14 x 6 x 14 x 4 x 2或x 12 x 2或x 12或x 5 6时 以C D P为顶点的三角形与以P B A为顶点的三角形相似 4 6 x 14 x D B C A p 22 巩固提高 在 ABC
10、中 AB 8cm BC 16cm 点P从点A开始沿AB边向B点以2cm 秒的速度移动 点Q从点B开始沿BC向点C以4cm 秒的速度移动 如果P Q分别从A B同时出发 经几秒钟 BPQ与 BAC相似 分析 由于 PBQ与 ABC有公共角 B 所以若 PBQ与 ABC相似 则有两种可能一种情况为 即PQ AC 另一种情况为 23 如果两个图形不仅是相似图形 而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 二 位似图形 24 两图形中对应边有何关系 对应角呢 这两个
11、多边形相似吗 相似比是多少 1 任取一点O 2 以点O为端点作射线OA OB OC 3 分别在射线OA OB OC 上取点A B C 使 OA OA OB OB OC OC 1 5 4 连接A B B C 得到所要画的多边形A B C D E 25 要画四边形ABCD的位似图形 还可以任取一点O 如图18 4 2 作直线OA OB OC OD 在点O的另一侧取点A B C D 使OA OA OB OB OC OC OD OD 2 也可以得到放大到2倍的四边形A B C D 26 观察 观察下面三组图形 看看哪两个图形是位似图形 并指出位似图形的位似中心 27 1 已知 如图 三角形ABC中 D是AC的中点 AE BC ED交AB于点F ED的延长线与BC的延长线相交于点G E A B C G F D 28 2 如图 在三角形ABC中 BA BC 20CM AC 30CM 点P从A点出发 沿AB以每秒4CM的速度向B点运动同时点Q从C点出发 沿CA以每秒3CM的速度向A点运动 设运动的时间为X 1 当X何值时 PQ BC 2 当S BCQ S ABC 1 3时 求S BPQ S ABC 3 APQ能否与 CQB相似 若能 求出AP的长 若不能 请说明理由 A B P Q C 29
