《现代信号处理方法-.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代信号处理方法-.doc（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2 Radon-Wignel变换2.2.1 Wigner-Ville分布的时频聚集性时变信号中，线性调频（）信号特别引人关注：首先， 信号广泛用于各种信息系统，如通信、雷达和地震勘探等；其次，探测系统的目标多普勒频率与目标速度近似成正比，当目标作等加速运动时，回波即为线性调频；再次，复杂运动目标回波在一段短的时间里，常可用线性调频作为其一阶近似；另外，对于空间线性阵列，若信号源位于近场，则沿阵列分布的信号也近似为线性调频。因此深入研究线性调频信号具有重大的理论价值与实际应用价值。用分布研究单分量信号是十分有效的：现考虑幅度为1的单分量信号 （2.2.1）因为 （2.2.2）故根据（1.3.
2、32）可求得其分布为 （2.2.3）从（2.2.3）说明单分量信号的分布是沿直线分布的冲激线谱，即分布的幅值集中出现在表示信号的瞬时频率变化率的直线上，因此，从最佳展现信号的频率调制率这一意义上讲分布具有理想的时频聚集性。在实际中由于信号的长度有限，其分布往往显示为背鳍状如图2.2.1所示，能够看出信号的能量集中于瞬时频率附近。图2.2.1实际LFM信号的分布呈背鳍状若所研究的信号是多分量的，那么信号各分量之间的交叉项就会使时频平面变得模糊不清，尤其是在信噪比不高的情况下，甚至难于区分各个信号分量。交叉项是分布的双线性性质固有的结果，有时即便两个信号分量在时频平面上相距足够远，但其分布的交叉项
3、仍然会出现。尽管交叉项在实际应用中有时也表现出有利的一面，如交叉项强时对信号检测将带来便利，但它在大多数情况下还是有害的，因此也就有必要采用适当的方法来抑制它。在实际信号处理时虽然通过选择合适的核函数可对分布的交叉项起到平滑抑制的作用，但在交叉项抑制的同时，信号项的时频聚集性也会有所下降；另外，核函数应该根据它所作用的信号形式及处理目的进行选择，这也为利用分布处理多分量信号增加了困难。由于理想的信号的分布为直线型冲激函数，因此对其分布的时频平面沿相应冲激直线作积分平滑是一种理想选择，变换正是基于此理论而提出的。2.2.2 Radon变换回顾变换：将原直角坐标旋转角得到新的直角坐标，这时以不同的
4、值平行于轴积分，所得的结果即为变换。图2.1.1变换的几何关系二元函数的变换 （2.1.1）利用三角运算，可以得出与两平面坐标之间的关系为: （2.1.2）将（2.1.2）代入（2.1.1）得（2.1.3）由（2.1.3）可以看出变换是关于和的二维函数，通常用符号表示的变换。（2.1.2）的逆坐标变换公式为 （2.1.2）2.2.3变换的定义变换是对分布的时频平面作直线积分投影的变换。在上一节讨论的变换中，如果将（2.1.1）中的变换对象由一般的二维函数代之以信号的分布，则所得变换即是信号的变换，常用符号来表示。变换就是信号的分布的变换。即 （2.2.4）（2.2.4）是以参数来表示的变换，而
5、在分布的时频平面里，习惯用轴的截距和斜率为参数来表示直线，因此当需要沿作直线积分时，可将积分路径（）参数替换成（），这两对参数之间的关系为 （2.2.5）现以参数（）表示积分路径，求的变换（2.2.6）（2.2.6）表明，若是参数为和的信号，则积分值最大；而当参数偏离和时，积分值将会迅速减小，即对一定的信号，其变换会在对应的参数（）处呈现尖峰，如图2.2.2和图2.2.3分别是单个信号的变换分布图和两个信号之和的变换分布图，由它们的分布图可以看出它们各自的信号项在图中均得到很好的体现（尖峰），图2.2.3尽管有两个信号分量组成，但仍然没有交叉项出现，说明经过变换，在平面中的交叉项已得到抑制。图
6、2.2.2单个LFM信号的变换分布图图2.2.3两个LFM信号之和的变换分布图 （ 图中的应换成）若将积分路径的直线参数改用轴的载距和相对于轴的斜率表示，写成的形式，参数间的关系为 （2.2.7）那么信号的变换的另外一种形式可写为 （2.2.8）变换通过分布和变换二者的结合，提供了信号处理技术与图像处理技术之间的联系桥梁，它可将信号检测与参数估计转化为图像中直线的检测问题。2.2.4变换的性质假设和为任意的两个信号，和分别是它们的变换，和分别是和的变换，而和则分别代表算子和分布算子，为常数。性质1双线性性 尽管变换是线性的，但是由于分布的双线性性导致了变换也具备双线性性质。 （2.2.9）式中
7、称为信号的互变换，分布的交叉项定义为 (2.2.10)性质2时移和频移特性根据分布的移不变特性，信号的平移将在时频平面上产生相应的平移，但在变换中情况有所不同，因为变换以为变量，所以对于时频平面内任何的平移，均可通过改变的值使其积分不变，即有 （2.2.12）式中和分别代表积分路径的水平移动和垂直移动。于是就有 （2.2.13） （2.2.14）这就说明信号的时移和频移只是在时频平面里作变换时使积分路径发生平移，而并不改变的值。一些只与旋转角度有关的统计量对小的信号时移或频率调制是不敏感的。性质3投影特性如果，和分别是信号的分布，模糊函数和变换，则 （2.2.15）式中是的极坐标表示。上式称为
8、投影切片定理：以某一角度从变换切得的切片和用与频率滞后轴所夹的角度通过模糊平面原点切得的切片之间存在着变换关系。性质4卷积特性考虑两个函数在域的卷积，由投影切片定理可知，函数和在域的对的一维卷积产生时频平面的二维卷积，即有 （2.2.16）如果对于所有不是函数，则径向卷积给出不同Cohen类变换的变换。因此利用（2.2.16）右边的二维卷积就可以由分布和给定的核函数计算不同的Cohen类变换，从而其变换可以用的一维卷积计算得到。性质5遮隔特性多分量信号的变换仍然存在交叉项，但是信号项呈现尖峰，所以交叉项和信号容易区分开。通过加阀值或其它方法实现交叉项的遮隔，可有效地用于信号检测或分离。一个变换
9、与一个遮隔相乘将在模糊平面产生一个径向卷积，即 （2.2.17）式中是关于的变换。这表明如果在域沿作很窄的遮隔，则在模糊域沿的响应将被展宽。2.2.5变换的计算利用（2.2.6）或（2.2.8）计算的变换需要计算的Wigner-Ville分布，计算量较大，下面讨论另外的方法。令是一个单分量连续信号，所谓解线调就是解除的线性调制，而将变成单频率信号。从参数估计的角度来讲，解线调就是估计信号的两个参数，即起始频率和调频斜率。若解线调在时域中进行则称为时域解线调，若在频域中进行则称为频域解线调。1、 时域解线调假设信号的值为已知，并用与信号相乘，即 （2.2.18）这样变成了单频信号，其频率等于起始
10、频率，关于的变换为 （2.2.19）然而在实际中，值是未知的。为此以为变量，搜索计算的相关函数和功率谱（它们均是的函数），相关函数（注意到）为 （2.2.20）功率谱函数为 （2.2.21）式中为的变换即频谱。若以为坐标画出的功率谱，则其图形中峰值点的坐标和分别是信号的起始频率和调频斜率。亦即如果把和视为两个需要搜索的变量，就可以利用（2.2.21）对所有可能的和值计算的功率谱，其峰值坐标给出单分量信号的起始频率和调频斜率。如果是多分量信号 （2.2.22）则在二维平面上会有个峰值，对应的组坐标点给出个调频分量的起始频率和调频斜率。观察（2.2.21）可以知道其括号内的积分就是的分布的“切片”
11、（直线方程）。于是，（2.2.21）等价于 （2.2.23）这就是时域解线调公式。由（2.2.6）（2.2.23）可以知道的变换与其时域解线调之间有密切联系： （2.2.24）由（2.2.24）可知，变换完成了解线调的二维搜索，同时也可以利用解线调来计算变换。但是由于当时，（2.2.24）中的参数，因此在这种情况下不能使用（2.2.24）来计算变换。时域解线调计算变换的步骤：（1） 对给定的实信号s(t),求解析信号z(t)；（2） 构造；（3） 计算的Fourier 变换；（4） 计算的变换：。2、 频域解线调频域解线调解决了时利用时域解线调计算变换的局限性。设信号的频谱为，若是相位为0，而
12、且具有一定宽频带的矩形函数，则原函数对应为窄的函数形式。因此若将频谱乘以与频率平方成正比的相位旋转因子，那么信号将被展宽为形式，即 （2.2.25）其反变换为 （2.2.26）现考虑频谱的频域自相关函数 （2.2.27）其变换为信号的瞬时功率，即 （2.2.28）与时域解线调相类似，（2.2.28）中括号内的积分就是的分布的“切片”（直线方程），于是（2.2.28）等价于 （2.2.29）同样地，由（2.2.8）（2.2.29）可以知道的变换与其频域解线调之间有密切联系： （2.2.30）上式表明，信号的变换可用其频域解线调模的平方与尺度因子的乘积计算，但由于时，因此此时不能用（2.2.30）来计算变换。
