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1、第一章 小学数学解题方法解题技巧之约数与倍数【约数问题】例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有_种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。而长方形的面积等于长乘以宽。所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。一般来说，约数都是成对地出现。1155的约数共有16个。162=8（对）。所以，有8种不同的拼法。例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：将360分解质因数，得360=222335=23325。所以，360的约数个数是：（3+1）（2+1）（1
2、+1）=24（个）这24个约数的和是：例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：这个数是22222333557。把两位数从99、98、开始，逐一进行分解：99=3311； 98=277；97是质数； 96=222223。发现，96是上面数的约数。所以，两位数的约数中，最大的是96。例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是_。（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：一个自然数N，当分解质因数为：因为8=18=24=222，所以，所求自然数分解质因数，可能为：27，或23
3、3，或235，不难得出，最小的一个是24。【倍数问题】例1 6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有_枚。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高，所以36枚1分的硬币与30枚2分的一样高。6枚2分的硬币与5枚5分的一样高，所以30枚2分的硬币与25枚5分的一样高。因此，36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它们共有：136+230+525=221（分）。4元4角2分=442（分），44
4、2221=2。所以，1分的硬币共362=72（枚），2分的硬币共302=60（枚），5分的硬币共252=50（枚），即总共有182枚。例2 从1、2、11、12中至多能选出_个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：1、3、5、7、9、11是奇数，不可能是任何整数的2倍。剩下的数有2、4、6、8、10、12六个数，且6是3的2倍，10是5的2倍。如取2，则4、8、12就都不能取；如取4，则2、8不能取，故只可取12；如取8，则2、4不能取，故只可取8。所以至多能选取8个数。例3 小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1
5、、2、3、13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有_个。（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：因为6=23，所以能被6整除的因数中，至少含有一个2和一个3。当一边取6，另一边取1、2、13时均成立，有13个积；当一边取7、8、9、10、11、12、13，另一边取12时，有7个积；当一边取10，另一边取9时，有1个积。所以，不相等的乘积中，被6整除的共有：13+7+1=21（个）。例4 设a与b是两个不相等的自然数。如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有_种不同的值。（北京市第九届“迎春杯”小学数
6、学竞赛试题）讲析：因为72=2332，它共有约数（3+1）（2+1）=12（个）这12个约数，每个约数与72的最小公倍数都是72，a、b之和有12种不同的值；当a=2232=36时，b可取23=8或233=24，a、b之和有2种不同的值；当a=233=24时，b可取32=9或232=18，a、b之和有2种不同的值。当a=232=18时；b可取23=8，a、b之和有1种不同的值。所以，满足条件的a与b之和共有17种不同的值。10、余数问题【求余数】（1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题）一组，就可得到331组，尚余4个6。而66667=9522。所以，原式的余数是2。例2 9437569
7、与8057127的乘积被9除，余数是_。（现代小学数学邀请赛试题）讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。73=21，219=23。所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。例3 在1、2、3、4、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_个。（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可将1、2、3、1994这1994个数，分别除以26。然后，按所得的余数分类。要使两个数的和是26的倍数，则必须使这
8、两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。这样的数有199426=76（个）余18（个）。但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。所以，最多能选出77个。【同余问题】例1 一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。这个整数是_。（全国第一届“华杯赛”初赛试题）讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300262）和（262205）的最大公约数。不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。
9、例2 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？（1989年上海市小学数学竞赛试题）讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是183=6。又因为1136的余数是5，所以该题的余数也是5。例3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有
10、_个桃子。（哈尔滨市小学数学竞赛试题）讲析：因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1个桃子。于是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等份了。加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。因为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成5等份。这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了。所以，这堆桃子至少有55555-4=3121（个）。例4 在1、2、3、30这30个自然数中，最多能取出_个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。（上海
11、市第五届小学数学竞赛试题）讲析：我们可将1到30这30个自然数分别除以7，然后按余数分类。余数是0：7、14、21、28余数是1：1、8、15、22、29余数是2：2、9、16、23、30余数是3：3、10、17、24余数是4：4、11、18、25余数是5：5、12、19、26余数是6：6、13、20、27要使两数之和不是7的倍数，必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。所以，可以取余数是1、2、3的数，不取余数是4、5、6的数。而余数为0的数只取一个。故最多可以取15个数。51、有关数的法则或方法【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法，见小学数学
12、课本，此处略。）“成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。它们也常用分母为十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的方法去读。“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”-“”来写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7”，读作“千分之七”。【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以10的整数次幂来表示一个数的方法，叫做“科学记数法”。利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a10n（1a10，n是整数）”的形式。例如：25700，把小数点向左移动四位，得12
13、.5710，但2.57比25700小了10000倍，所以25700=2.57104。0.00867，把小数点向右移动三位，得18.6710，但8.67比0.00867大了1000倍，所以 【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。四舍五入法省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的最高位上的数是4，或者是比4小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是5，或者是比5大的数，把尾数舍去以后，要向它的前一位进一。这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。例如，把8，654，000四舍五入到万位，约等于865万；把7.6239四舍五入保留两位
14、小数约等于7.62；把2，873，000，000四舍五入到亿位，约等于29亿；把32.99506四舍五入精确到百分位约等于33.00。去尾法要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾法”。进一法省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向它的前一位进一。这种求近似数的方法，叫做“进一法”。显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值”，而用“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。例如，把1.5972四舍五入，保留两位小数得1.60，即1.59721.60，最后的“0”不可去掉，否则，它只精确到十分位了。【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。（1）查表法。用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：质数表上有的是质数，
