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1、 1 第二节平面向量基本定理及坐标表示 A级 基础过关 固根基 1 设平面向量a 1 0 b 0 2 则 2a 3b等于 A 6 3 B 2 6 C 2 1 D 7 2 解析 选 B 2a 3b 2 0 0 6 2 6 2 若向量a 2 1 b 1 2 c 0 5 2 则c可用向量a b表示为 A c 1 2a bB c 1 2 a b C c 3 2a 1 2b D c 3 2a 1 2b 解析 选 A 设向量c xa yb 易知 0 2x y 5 2 x 2y x 1 2 y 1 c 1 2a b 故选 A 3 已知向量AC AD 和AB 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示 若AC
2、 AB AD 则 等于 A 2 B 2 C 3 D 3 解析 选 A 如图所示 建立平面直角坐标系xAy 2 则AD 1 0 AC 2 2 AB 1 2 因为AC AB AD 所以 2 2 1 2 1 0 2 所以 2 2 2 解得 1 3 所以 2 故选 A 4 已知向量a 1 1 b 1 2 若 a b 2a t b 则t A 0 B 1 2 C 2 D 3 解析 选 C 由题意得a b 2 1 2a t b 2 t 2 2t 因为 a b 2a t b 所以 2 2 2t 1 2 t 解得t 2 故选 C 5 已知OB是平行四边形OABC的一条对角线 O为坐标原点 OA 2 4 OB 1
3、 3 若点E满足OC 3EC 则点E的坐标为 A 2 3 2 3 B 1 3 1 3 C 1 3 1 3 D 2 3 2 3 解析 选 A 易知OC OB OA 1 1 则C 1 1 设E x y 则 3EC 3 1 x 1 y 3 3x 3 3y 由OC 3EC 知 3 3x 1 3 3y 1 所以 x 2 3 y 2 3 所以E 2 3 2 3 6 一题多解 2019 届合肥市第一次质检 设平面向量a 3 4 向量b与向量a方 向相反 且 b 10 则向量b的坐标为 A 6 5 8 5 B 6 8 C 6 5 8 5 D 6 8 解析 选 D 解法一 因为a与b的方向相反 所以可设b 3t
4、 4t t 0 又 b 3 10 则 9t 2 16t2 100 解得 t 2 或t 2 舍去 所以b 6 8 故选 D 解法二 与a方向相反的单位向量为 3 5 4 5 令b t 3 5 4 5 t 0 由 b 10 得t 10 所以b 6 8 故选 D 7 2019 届唐山模拟 一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB AD分别交于点E F 且交其对角线AC于点M 若AB 2AE AD 3AF AM AB AC R 则 5 2 A 1 2 B 1 C 3 2 D 3 解析 选 A AM AB AC AB AB AD AB AD 2 AE 3 AF 因为E M F三点共线 所以2 3 1 即
5、 2 5 1 所以 5 2 1 2 故选 A 8 2019 届厦门模拟 已知 OA 1 OB 3 OA OB 0 点C在 AOB内 且OC 与OA 的夹角为30 设OC mOA nOB m n R 则 m n的值为 A 2 B 5 2 C 3 D 4 解析 选 C OA OB 0 OA OB 以OA 所在直线为 x轴 OB 所在直线为y轴建立平面直角坐标系 则OA 1 0 OB 0 3 OC mOA nOB m 3n tan 30 3n m 3 3 m 3n 即 m n 3 故选 C 9 在 ABCD中 AC为一条对角线 AB 2 4 AC 1 3 则向量BD 的坐标为 解析 BC AC AB
6、 1 1 BD AD AB BC AB 3 5 答案 3 5 10 已知点A 2 3 B 4 5 C 7 10 若AP AB AC R 且点P在直线x 4 2y 0 上 则实数 的值为 解析 设P x y 则由AP AB AC 得 x 2 y 3 2 2 5 7 2 5 2 7 所以 x 2 2 5 y 3 2 7 即x 5 4 y 7 5 又点P在直线x 2y 0 上 故 5 4 2 7 5 0 解得 2 3 答案 2 3 11 已知D E F分别为 ABC的边BC CA AB的中点 且BC a CA b 给出下列命 题 AD 1 2a b BE a 1 2b CF 1 2a 1 2b AD
7、 BE CF 0 其中正确命题的个数为 解析 由BC a CA b 得AD 1 2CB AC 1 2a b 故 错 BE BC 1 2CA a 1 2b 故 正确 CF 1 2 CB CA 1 2 a b 1 2a 1 2b 故 正确 所以AD BE CF b 1 2a a 1 2b 1 2b 1 2a 0 故 正确 所以正确命题个数为3 答案 3 12 一题多解 如图 在正方形ABCD中 M N分别是BC CD的中点 若AC AM BN 则 解析 解法一 以AB AD所在直线分别为x轴 y轴 建立平面直角坐标系xAy 如图 所示 5 设正方形的边长为1 易得A 0 0 B 1 0 C 1 1
8、 M1 1 2 N 1 2 1 AM 1 1 2 BN 1 2 1 AC 1 1 因为AC AM BN 2 2 1 1 所以 2 1 2 1 解得 6 5 2 5 所以 8 5 解法二 由AM AB 1 2AD BN 1 2AB AD 得AC AM BN 2 AB 2 AD 又AC AB AD 所以 2 1 2 1 解得 6 5 2 5 所以 8 5 答案 8 5 B级 素养提升 练能力 13 若 是平面内的一组基底 向量 x y x y R 则称 x y 为向量 在基底 下的坐标 现已知向量a在基底p 1 1 q 2 1 下的坐标为 2 2 则a在另一组基底m 1 1 n 1 2 下的坐标为
9、 A 2 0 B 0 2 C 2 0 D 0 2 解析 选 D 因为a在基底p q下的坐标为 2 2 即a 2p 2q 2 4 令a xm yn x y x 2y 所以 x y 2 x 2y 4 即 x 0 y 2 所以a在基底m n下的坐标为 0 2 14 2019 届南充模拟 如图 原点O是 ABC内一点 顶点A在x轴上 AOB 150 6 BOC 90 OA 2 OB 1 OC 3 若OC OA OB 则 A 3 3 B 3 3 C 3 D 3 解析 选 D 由题可得A 2 0 B 3 2 1 2 C 3 2 33 2 因为OC OA OB 所 以由向量相等的坐标表示可得 2 3 2 3
10、 2 2 33 2 解得 3 33 所以 3 故选 D 15 一题多解 在 ABC中 点D在线段BC的延长线上 且BC 3CD 点O在线段CD上 与 点C D不重合 若AO xAB 1 x AC 则x的取值范围是 A 0 1 2 B 0 1 3 C 1 2 0 D 1 3 0 解析 选 D 解法一 依题意 设BO BC 其中 1 4 3 则有 AO AB BO AB BC AB AC AB 1 AB AC 又AO xAB 1 x AC 且AB AC 不共线 于是有x 1 1 3 0 即 x的取值范围是 1 3 0 故选 D 解法二 AO xAB AC xAC AO AC x AB AC 即CO
11、 xCB 3xCD O在线段 CD 不含C D两点 上 0 3x 1 1 3 x 0 故选 D 16 在矩形ABCD中 AB 5 BC 3 P为矩形内一点 且AP 5 2 若AP AB AD R 则5 3 的最大值为 解析 7 建立如图所示的平面直角坐标系 设P x y B 5 0 C 5 3 D 0 3 AP 5 2 x 2 y 2 5 4 点P满足的约束条件为 0 x 5 0 y 3 x 2 y 2 5 4 AP AB AD R x y 5 0 0 3 x 5 y 3 x y 5 3 x y 2 x 2 y 2 2 5 4 10 2 当且仅当x y时取等号 5 3 的最大值为 10 2 答案 10 2
