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1、 1 第三节变量间的相关关系 统计案例 A级 基础过关 固根基 1 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中 研究人员获得了一组样本数据 并制作 成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图 根据该图 下列结论中正确的是 A 人体脂肪含量与年龄正相关 脂肪含量的中位数等于20 B 人体脂肪含量与年龄正相关 脂肪含量的中位数小于20 C 人体脂肪含量与年龄负相关 脂肪含量的中位数等于20 D 人体脂肪含量与年龄负相关 脂肪含量的中位数小于20 解析 选 B 因为散点图呈现上升趋势 故人体脂肪含量与年龄正相关 因为中间两个数 据大约介于15 到 20 之间 故脂肪含量的中位数小于20 故选 B 2 已
2、知变量x和y的统计数据如下表 x 34567 y 2 5344 56 根据上表可得回归直线方程为y b x 0 25 据此可以预测当 x 8 时 y A 6 4 B 6 25 C 6 55 D 6 45 解析 选 C 由题意知x 3 4 5 6 7 5 5 y 2 5 3 4 4 5 6 5 4 将点 5 4 代入y b x 0 25 解得b 0 85 则y 0 85 x 0 25 所以当x 8时 y 0 85 8 0 25 6 55 故选 C 3 在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中 下列说法正确的是 A 若K 2 的观测值为k 6 635 则在犯错误的概率不超过0 01 的前提
3、下认为吸烟与患肺 2 癌有关系 那么在100 个吸烟的人中必有99 人患有肺癌 B 由独立性检验可知 在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系 时 我们说某人吸烟 那么他有99 的可能患有肺癌 C 若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0 01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系 是指有 1 的可能性使得判断出现错误 D 以上三种说法都不正确 解析 选 C 独立性检验得出的结论是带有概率性质的 只能说结论成立的概率有多大 而不能完全肯定一个结论 因此才出现了临界值表 在分析问题时一定要注意这点 不可对 某个问题下确定性结论 否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释 若从统计量中求出在
4、犯错误的概率不超过0 01 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系 是指 有 1 的可能性使得判断出现错误 故选C 4 已知两个随机变量x y之间的相关关系如下表所示 x 4 2124 y 5 3 1 0 51 根据上述数据得到的回归方程为y b x a 则大致可以判断 A a 0 b 0 B a 0 b 0 C a 0 D a 0 b 6 635 可知我们在犯错误的概率不 超过 0 01 的前提下 即有99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关 故选C 6 2019 届惠州市第二次调研 某商场为了了解毛衣的月销量y 件 与月平均气温x 之间的关系 随机统计了某4 个月的月销售量与当月平均气温 其数
5、据如下表 月平均气温x 171382 月销售量y 件24334055 由表中数据算出线性回归方程y b x a 中的b 2 气象部门预测下个月的平均气温约 为 6 据此估计该商场下个月毛衣销售量约为 件 解析 由题中数据 得x 10 y 38 又回归直线y b x a 过点 x y b 2 代入得a 58 则回归方程为 y 2x 58 所以当x 6 时 y 46 答案 46 7 写出下列命题中所有真命题的序号 两个随机变量线性相关性越强 相关系数r越接近 1 回归直线一定经过样本点的中 心 x y 若线性回归方程为y 0 2 x 10 则当样本数据中x 10 时 必有相应的y 12 回归分析中
6、 相关指数R 2 的值越大 说明残差平方和越小 解析 两个随机变量线性相关性越强 相关系数 r 越接近 1 原命题错误 回归直线一定经过样本点的中心 x y 原命题正确 若线性回归方程为y 0 2 x 10 则当样本数据中x 10 时 可以预测y 12 但是会 存在误差 原命题错误 回归分析中 相关指数R 2 的值越大 说明残差平方和越小 原命题正确 综上可得 正确命题的序号为 答案 8 心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关 某数学兴趣小组为了验证这个结 论 从所在学校中按分层抽样的方法抽取50 名同学 男 30 女 20 给所有同学几何题和代 数题各一题 让各位同学自由选择一道题进行
7、解答 选题情况如下表 单位 人 几何题代数题总计 4 男同学22830 女同学81220 总计302050 根据上述数据 推断视觉和空间想象能力与性别有关系 则这种推断犯错误的概率不超 过 附表 P K 2 k0 0 150 100 050 0250 0100 0050 001 k02 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 解析 由列联表计算K 2 的观测值k 50 22 12 8 8 2 30 20 20 30 5 556 5 024 推断犯错 误的概率不超过0 025 答案 0 025 9 2019 届江西七校第一次联考 最近青少年的视力健康问题引起的高度重
8、视 某 地区为了解当地24 所小学 24 所初中和12 所高中的学生的视力状况 准备采用分层抽样的 方法从这些学校中随机抽取5 所学校对学生进行视力调查 1 若从所抽取的5 所学校中再随机抽取3 所学校进行问卷调查 求抽到的这3 所学校中 小学 初中 高中分别有一所的概率 2 若某小学被抽中 调查得到了该小学前五个年级近视率y的数据如下表 年级号x 12345 近视率y 0 050 090 160 200 25 根据前五个年级的数据 利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 并根据方程预 测六年级学生的近视率 附 回归直线y b x a 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 解 1 由 24
9、 24 12 2 2 1 得抽取的5 所学校中有2 所小学 2 所初中 1 所高中 分别设为a1 a2 b1 b2 c 从这 5 所学校中随机抽取3 所学校的所有基本事件为 a1 a2 b1 a1 a2 b2 a1 a2 c a1 b1 b2 a1 b1 c a1 b2 c a2 b1 b2 a2 b1 c a2 b2 c b1 b2 c 共 10 种 设事件A表示 抽到的这3 所学校中 小学 初中 高中分别有一所 则事件A包含 5 的基本事件为 a1 b1 c a1 b2 c a2 b1 c a2 b2 c 共 4 种 故P A 4 10 2 5 2 由题中表格数据得x 3 y 0 15 5
10、x y 2 25 5x 2 45 又参考数据 i 1 5 xiyi 2 76 i 1 5 x 2 i 55 所以b 2 76 2 25 55 45 0 051 a 0 15 0 051 3 0 003 得线性回归方程为y 0 051x 0 003 当x 6 时 代入得y 0 051 6 0 003 0 303 所以六年级学生的近视率在0 303 左右 10 2020届 四省八校联盟 高三联考 某企业有甲 乙两套设备生产同一种产品 为 了检测两套设备的生产质量情况 随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50 件产品作为 样本 检测一项质量指标值 若该项质量指标值落在 100 120 内 则为合格
11、品 否则为不 合格品 表1 是甲套设备的样本的频数分布表 图1 是乙套设备的样本的频率分布直方图 表 1 甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 95 100 100 105 105 110 频数1518 质量指标值 110 115 115 120 120 125 频数1961 图 1 乙套设备的样本的频率分布直方图 1 根据表 1和图 1 通过计算合格率对两套设备的优劣进行比较 2 填写下面列联表 并根据列联表判断是否有90 的把握认为该企业生产的这种产品的 该项质量指标值与甲 乙两套设备的选择有关 甲套设备乙套设备合计 6 合格品 不合格品 合计 附 P K 2 k0 0 150 100
12、0500 0250 010 k02 0722 7063 8415 0246 635 参考公式 K 2 n ad bc 2 a b c d a c b d 其中 n a b c d 解 1 根据题目所给的质量指标值落在 100 120 内的产品视为合格 可得甲套设备的 样本的合格品数为48 甲套设备的样本的不合格品数为2 乙套设备的样本的合格品数为 0 036 0 044 0 056 0 036 5 50 43 乙套设备的样本的不合格品数为7 所以估计甲套设备生产合格品的概率为 48 50 24 25 乙套设备生产合格品的概率为 43 50 所以甲套设备优于乙套设备 2 由已知数据 得到如下的2
13、 2列联表 甲套设备乙套设备合计 合格品484391 不合格品279 合计5050100 K 2 100 48 7 43 2 2 50 50 91 9 3 05 因为 3 05 2 706 所以有 90 的把握认为该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲 乙两套设备的选择有关 B级 素养提升 练能力 11 2019 届郑州第一次质量预测 近年来郑州空气污染较为严重 现随机抽取一年 365 天 内 100 天的空气中PM2 5指数的检测数据 统计结果如下 PM2 5 指数 0 50 50 100 100 150 150 200 200 250 250 300 300 空气质量优良 轻微污 染 轻
14、度污 染 中度污 染 中度重 污染 重度 污染 天数413183091115 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S 单位 元 PM2 5指数为x 当x在区间 0 100 内时对企业没有造成经济损失 当x在区间 100 300 内时对企业造成的经济损失成直 7 线模型 当 PM2 5指数为 150 时造成的经济损失为500 元 当 PM2 5 指数为 200 时 造成的经 济损失为700 元 当 PM2 5指数大于300 时造成的经济损失为2 000 元 1 试写出S x 的表达式 2 试估计在本年内随机抽取一天 该天经济损失S大于 500 元且不超过900 元的概率 3 若本次抽取的样本数
15、据有30 天是在供暖季 其中有8 天为重度污染 完成下面列联 表 并判断是否有95 的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关 非重度污染重度污染总计 供暖季 非供暖季 总计100 附 P K 2 k0 0 250 150 100 050 0250 0100 0050 001 k01 3232 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 K 2 n ad bc 2 a b c d a c b d 其中 n a b c d 解 1 依题意 可得S x 0 x 0 100 4x 100 x 100 300 2 000 x 300 2 设 在本年内随机抽取一天 该天经济损
16、失S大于 500 元且不超过900 元 为事件A 由 500 S 900 得 1503 841 所以有 95 的把握认为空气重度污染与供暖有关 12 2019 届陕西省质量检测 基于移动互联网技术的共享单车被称为 新四大发明 之 一 短时间内就风靡全国 带给人们新的出行体验 某共享单车运营公司的市场研究人员为 了解公司的经营状况 对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计 结果如下表 月份2018 82018 92018 102018 112018 122019 1 月份代123456 8 码x 市场占 有率y 111316152021 1 请在给出的坐标纸中作出散点图 并用相关系数说明能否用线性回归模型拟合市场占 有率y与月份代码x之间的关系 2 求y关于x的线性回归方程 并预测该公司2019 年 2 月份的市场占有率 参数数据 i 1 6 xi x 2 17 5 i 1 6 xi x yi y 35 1 330 36 5 解 1 作出散点图如下 9 由题意得y 11 13 16 15 20 21 6 16 所以 i 1 6 yi y 2 76 所以r 35 17 5 76 3
