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1、行列式的解法技巧及应用 引 言行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨发明的。同时代的日本数学家关孝和在其著作解伏题元法中也提出了行列式的概念与算法。1750年，瑞士数学家克拉默(1704-1752)在其著作线性代数分析导引中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则。稍后，数学家贝祖 (1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有
2、必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧和它的简单应用进行总结归纳。 作为行列式本身而言，我们可以发现它的两个基本特征：当行列式是一个三角形行列式时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想；行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用，而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、因式分解法等可以看成是它们衍生出的具体方法。同时行列式的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何，数学分析，概率统计等数学分支的基
3、本工具。1行列式的定义和性质1.1行列式定义定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数,符号为正，逆序数为奇数，符号为负。例1 .解：不为零的项一般表示为,故.1.2行列式的性质 按照行列式的值可分为以下几类：性质1 行列式值为01) 如果行列式有两行(列)相同，则行列式值为0;2) 如果行列式有两行(列)成比例，则行列式值为0;3) 行列式中有一行(列)为0，则行列式的值为0。性质2 行列式值不变1) 把一行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式值不变, 即 （6）其中。2) 行列互换，行列式值不变, 即= （
4、7）3) 如果行列式的某一行(列)是两组数的和，那么它就等于两个行列式的和, 这两个行列式除这一行(列)外其余与原来行列式对应相同,即 （8）性质3 行列式的值改变 一行(列)的公因子可以提出去，或者说用一数乘以行列式的一行(列)就等于用该数乘以此行列式 （9）性质4 行列式反号对换行列式两行(列)的位置，行列式反号 （10）例2 一个阶行列式 的元素满足则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明： 由知，即.故行列式可表示为,由行列式的性质，.当n为奇数时，得因而得.2 求解行列式的技巧2.1 定义法当行列式中含零元较多时，定义法可行。例3 计算n级行列式 解：按定义，易见=1， 2，=
5、n，或=2，=3，=n， =1.得 D=+2.2 三角形行列式法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。例4：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。
6、注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以1加到第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解：2.3 析因法如果行列式D中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C，根据多项式相等的定义，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C值，便可求得D=Cg(x) 。那在什么情况下才能用呢？要看
7、行列式中的两行（其中含变数x），若x等于某一数a1时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得D=0。那么x a1便是一个一次因式，再找其他的互异数使得D=0，即得到与D阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法。例5：兰州大学2004招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第（1）小题。需求如下行列式的值。分析 根据该行列式的特点，当时，有。但大家认真看一下，该行列式Dn+1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n个一次因式,那么能否用析因法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一样的，为：，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式，这样行列式的次数就降了一次。从而再考虑析因法
8、。解：令：显然当：时，8。又为n次多项式。又中的最高次项为，系数为1，C=1因此得：2. 4 连加法若行列式中某加上其余各列（行），使该列（行）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式计算的方法称为连加法。 解：它的特点是各列元素之和为 （n-1）a+x ,因此把各行都加到第一行，然而第一行再提出（n-1）a+x ,得将第一行乘以（-a）分别加到其余各行，化为三角形行列式，则25按行按列展开（降阶法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再
9、展开。例7 计算行列式 .解： 按第1行展开： .2. 6递推法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。例8，2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：分析此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式1。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑
10、利用递推关系式计算。证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：这是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：或现可反复用低阶代替高阶，有：同样有：因此当时由（1）（2）式可解得：2. 7数学归纳法一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。例9证明：证：当时，有：结论显然成立。
11、现假定结论对小于等于时成立。即有：将按第1列展开，得： 故当对时，等式也成立。得证。2. 8加边法（升阶法）有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是：特殊情况取 或 例10、计算n 阶行列式：分析 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x1与x1,x2, xn相乘，第二行为x2与x1,x2, xn相
12、乘，第n行为xn与 x1,x2, xn相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子x1,x2, xn，从而就可考虑此法。解：2. 9拆项法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。例11、 南开大学2004年研究生入学考试题第1大题，要求下列行列式的值：设n阶行列式：且满足对任意数b，求
13、n阶行列式 分析该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b，显然用拆行（列）法。解： 也为反对称矩阵又为的元素从而知：2.10拉普拉斯法拉普拉斯定理的四种特殊情形：1） 2）3） 4）例12 计算n阶行列式：解：2.11利用范德蒙行列式法范德蒙行列式：例13 计算n阶行列式9解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+
14、2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得： 3 行列式的应用行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来进行计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.3.1 行列式在线性方程组中的应用 设含有个变元的个一次线性方程的方程组为 （1） 设方程组（1）的系数矩阵的秩是, 不失一般性, 假定不等于零的阶行列式是 . 行列式中的元素, 就是矩阵中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列. 我们把看作是未知数, 是已知数, 解方程组(1), 得 （2）式中是行列式的第列元素换以所成的行列式. 也就是.把中第列移到第一列, 得.上式右边的行列式用表示, 行列式是矩阵中去掉第列剩余下的元素所组成. 故.代入（2）式, 得, 或.
