《高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 3.1三角函数（整理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 3.1三角函数（整理）（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学 海 无 涯 20142014 年高考一轮复习热点难点精讲精析 年高考一轮复习热点难点精讲精析 3 13 1 三角函数三角函数 一 任意角和弧度制及任意角的三角函数一 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1 1 三角函数的定义 三角函数的定义 相关链接 相关链接 1 已知角 终边上上点 P 的坐标 则可先求出点 P 到原点的距离 r 然后用三角函数的定义求解 2 已知角 的终边所在的直线方程 则可先设出终边上一点的坐标 求出此点到原点的距离 然 后用三角函数的定义来求相关问题 若直线的倾斜角为特殊角 也可直接写出角的 值 注 若角 的终边落在某条直线上 一般要分类讨论 例题解析 例题解析 例
2、例 已知角 的终边落在直线 3x 4y 0 上 求 sin cos tan 的值 思路解析 思路解析 本题求 的三角函数值 依据三角函数的定义 可在角 的终边上任意一点 P 4t 3t t 0 求出 r 由定义得出结论 解答 角 的终边在直线 3x 4y 0 上 在角 的终边上任取一点 P 4t 3t t 0 则 x 4t y 3t r 22 xy 22 4 3 tt 5 t 当 t 0 时 r 5t sin y r 33 55 t t 44 cos 55 xt rt 33 tan 44 yt xt 当 t 0 时 r 5t sin y r 33 55 t t 44 cos 55 xt rt
3、33 tan 44 yt xt 综上可知 sin 3 5 4 cos 5 3 tan 4 或 sin 3 5 4 cos 5 3 tan 4 2 2 象限角 三角函数值符号的判断 象限角 三角函数值符号的判断 相关链接 相关链接 1 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键 2 判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限 3 对于已知三角函数式的符号判断角所在象限 可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符 号 再判断角所在象限 例题解析 例题解析 例 例 1 如果点 P sin cos 2cos 位于第三象限 试判断角 所在的象限 学 海 无 涯 2 若 是第二象限角 则 sin cos c
4、os sin2 的符号是什么 思路解析 思路解析 1 由点 P 所在的象限 知道 sin cos 2cos 的符号 从而可求 sin 与 cos 的 符号 2 由 是第二象限角 可求 cos sin2 的范围 进而把 cos sin2 看作一个用弧度制的 形式表示的角 并判断其所在的象限 从而 sin cos cos sin2 的符号可定 解答 1 因为点 P sin cos 2cos 位于第三象限 所以 sin cos 0 2cos 0 即 sin0 cos0 所以 为第二象限角 2 2k 2 2k k Z 1 cos 0 4k 2 4k 2 1 sin2 0 sin cos 0 sin c
5、os cos sin2 0 sin cos cos sin2 的符号是负号 3 3 已知 所在象限 求 已知 所在象限 求 2 nnN n 所在象限所在象限 相关链接 相关链接 1 1 由 所在象限 确定 由 所在象限 确定 n 所在象限的方法所在象限的方法 由 的范围 求出 n 的范围 通过分类讨论把角写成 k 360 0的形式 然后判断 n 所在象限 2 2 由 所在象限 确定 由 所在象限 确定 2 所在象限 也可用如下方法判断 所在象限 也可用如下方法判断 画出区域 将坐标系每个象限二等分 得 8 个区域 标号 自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上 如图所示 确定区域 找出与角
6、所在象限标号一致的区域 即为所求 3 3 由 所在象限 确定 由 所在象限 确定 3 所在象限 也可用如下方法判断 所在象限 也可用如下方法判断 画出区域 将坐标系每个象限三等分 得到 12 个区域 标号 自 x 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上 如图所示 学 海 无 涯 确定区域 找出与角 所在象限标号一致的区域 即为所求 例题解析 例题解析 例 例 若 是第二象限角 试分别确定 2 2 3 的终边所在位置 思路分析 思路分析 写出 的范围 求出 2 2 3 的范围 分类讨论求出 2 2 3 终边所在位置 解答 是第二象限角 90 0 k 3600 1800 k 3600 k Z 1 18
7、00 2k 360 0 2 3600 2k 3600 k Z 故 2 是第三或第四象限角 或 2 的终边在 y轴的非正半轴上 2 45 0 k 1800 2 90 0 k 1800 k Z 当 k 2n n Z 时 45 0 n 3600 2 90 0 n 3600 k Z 当 k 2n 1 n Z 时 225 0 n 3600 2 270 0 n 3600 k Z 2 是第一或第三象限角 3 30 0 k 1200 3 60 0 k 1200 k Z 当 k 3n k Z 时 30 0 n 3600 3 60 0 k 3600 k Z 当 k 3n 1 k Z 时 150 0 n 3600
8、3 180 0 k 3600 k Z 当 k 3n 2 k Z 时 270 0 n 3600 3 0 cos 0 sin cos 7 5 由 1 sincos 5 7 sincos 5 得 4 sin 5 3 cos 5 tan 4 3 2 22 2222 1sincos cossincossin 22 2 2 222 2 sincos tan1 cos cossin1tan cos tan 4 3 2 2 222 2 4 1 1tan125 3 4 cossin1tan7 1 3 注 1 对于 sin cos sin cos sin cos 这三个式子 已知其中一个式子的值 其余二 式的值可
9、求 转化的公式为 sin cos 2 1 2 sin cos 2 关于 sin cos 的齐次式 往往 学 海 无 涯 化为关于 tanx 的式子 5 5 扇形的弧长 面积公式的应用 扇形的弧长 面积公式的应用 例 例 已知一扇形的圆心角是 所在圆半径是 R 1 若 60 0 R 10cm 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 2 若扇形的周长是一定值 C C 0 当 是多少弧度时 该扇形有最大面积 思路分析 思路分析 1 利用弧长 面积公式求解 2 把扇形面积用 表示出来 或用弧长表示出来 然后 求出函数的最值 解答 解答 1 设弧长为l 弓形面积为S弓 0 20 2 60 10 3 10 3
10、1101 1010sin60 232 3 50 32 R lcm SSS cm Q 弓扇 2 方法一 扇形周长 C 2R l 2R R R 2 C 22 222 2 11 222 11 4 244216 44 C SR CCC 扇 当且仅当 4 即 2 2 舍去 时 扇形面积有最大值 2 16 C 方法二 由已知 2R l C 2 2 111 2224 Cl RlC Cl SRllCll 2 2 1 4216 CC l 当 2 C l 时 2 max 16 C S 学 海 无 涯 此时 2 2 2 2 C l C R C 当 2 弧度时 扇形面积有最大值 2 16 C 注 合理选择变量 把扇形
11、面积表示出来 体现了函数的思想 针对不同的函数类型 采用不同的方 法求最值 这是解决问题的关键 二 三角函数的诱导公式二 三角函数的诱导公式 1 1 三角函数式的化简 三角函数式的化简 相关链接 相关链接 1 2 kkZ 2 的三角函数值是化简的主要工具 使用诱导公式前 要正确分析角的结构特点 然后确定使用的诱导公式 2 不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角 如 5 2 22 等 注 注 若k 出现时 要分k为奇数和偶数讨论 3 诱导公式的应用原则是 负化正 大化小 化到锐角为终了 特殊角能求值则求值 4 化简是一种不能指定答案的恒等变形 化简结果要尽可能使项数少
12、函数的种类少 次数低 能求出值的要求出值 无根式 无分式等 例题解析 例题解析 例 例 化简 sin cos 1 sin 1 cos kk kZ kk 思路分析 思路分析 化简时注意观察题设中的角出现了k 需讨论k是奇数还是偶数 解答 解答 当2 kn nZ 时 sin 2 cos 21 sin cos sin 21 cos 2 sin cos sin cos 1 sincos nn nn g g 原式 当21 knnZ 时 学 海 无 涯 sin 21 cos 21 1 sin cos sin 21 1 cos 21 sincos sincos 1 sin cos nn nn gg gg g
13、 g 原式 综上 原式 1 2 2 三角函数的求值 三角函数的求值 相关链接 相关链接 1 六个诱导公式和同角三角函数的关系是求值的基础 2 已知一个角的三角函数值 求其他角三角函数值时 要注意对角化简 一般是把已知和所求同 时化简 化为同一个角的三角函数 然后求值 例题解析 例题解析 例 例 已知cos 2sin 22 求 3 sin cos 57 5cos 3sin 22 的值 思路解析 思路解析 化简已知条件 化简所求三角函数式 用已知表示 代入已知求解 解答 cos 2sin 22 Q sin2 2 sin sin2cos tan2 即 33 332 22222 sin cos sin
14、cos 57 5cos 3sin 5cos 2 3sin 4 2222 sincossincossintan1 5sin3cos5tan3 5cos 3sin 22 2sin12sin12sin sincos 10377 s g 22 222 222 incos sincostan14 13 7 sincos 7 tan1 7 4 1 35 3 3 诱导公式在三角形中的应用 诱导公式在三角形中的应用 例 例 1 1 在 ABC 中 若 sin 2 A 2 sin 3cosA 2 cos 求 ABC 的三内角 思路分析 思路分析 本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简 然后利用 求出 cosA
15、的值 再利用 A B C 进行计算 解答 解答 由已知得 sin2sin 3cos2cos AB AB 化简得 2 2cos1 A 即 2 cos 2 A 学 海 无 涯 1 当 2 cos 2 A 时 3 cos 2 B 又 A B 是三角形内角 A 4 B 6 C 7 12 2 当 2 cos 2 A 3 cos 2 B 又 A B 是三角形内角 A 3 4 B 6 不合题意 综上知 A 4 B 6 C 7 12 注 在 注 在 ABCABC 中常用的变形结论有 中常用的变形结论有 A B C 2A 2B 2C 2 2222 ABC sin A B sin C sinC cos A B c
16、os C cosC tan A B tan C tanC sin 2A 2B sin 2 2C sin2C cos 2A 2B cos 2 2C cos2C tan 2A 2B tan 2 2C tan2C sin 22 AB sin 22 C cos 2 C cos 22 AB cos 22 C sin 2 C 以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆 例 例 2 2 是否存在 2 2 0 使等式 sin 3 2cos 2 3cos 2 cos 同时成立 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 思路分析 思路分析 要想求出 的值 必须知道 的某一个三角函数值 因此 解决本题的关键是由 两个等式消去 或 的同名三角函数值 解答 解答 假设存在 使得等式成立 即有 sin 3 2cos 2 3cos 2cos 化 简 得 sin2sin 3cos 2cos 继 续 化 简 可 得 22 sin3cos2 2 1 cos 2 又 2 2 Q 4 或 4 将 4 代入3cos2cos 得 cos 3 2 又 0 6 代入sin2sin 可知符合 学 海 无 涯 将 4 代入3cos2cos 得
