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1、第7章真空中的静电场 本章内容 7 1电荷库仑定律 7 2电场电场强度E 7 3电通量高斯定理 7 4静电场的环路定理电势能 7 5电势电势差 7 6等势面 电势与电场强度的微分关系 7 7静电场中的导体电容 7 8静电能 7 1电荷库仑定律 7 1 1 电荷 1 正负性 2 量子性 3 守恒性 在一个孤立系统中总电荷量不变 4 点电荷 带电体的大小 形状可以忽略 把带电体视为一个带电的几何点 一种理想模型 7 1 2 库仑定律 在真空中两个静止点电荷之间的静电作用力与这两个点电荷所带电量的乘积成正比 与它们之间距离的平方成反比 作用力的方向沿着两个点电荷的连线 电荷q1对q2的作用力F21
2、电荷q2对q1的作用力F12 真空中的介电常数 1 库仑定律适用于真空中的点电荷 2 库仑力满足牛顿第三定律 3 电荷之间距离小于时 库仑定律仍保持有效 至于大距离方面 虽然未作过实验验证 但也并没有特殊的理由预料在大距离情况下库仑定律将失效 讨论 氢原子中电子和质子的距离为 解 例 此两粒子间的电力和万有引力 求 两粒子间的静电力大小为 两粒子间的万有引力为 7 2电场电场强度E 7 2 1 电场 场的概念 超距作用 电场的特点 1 对位于其中的带电体有力的作用 2 带电体在电场中运动 电场力要作功 7 2 2 电场强度E 检验电荷 带电量足够小 质点 在电场中 电荷 电荷 电荷 电荷 电场
3、 电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷在该点受力的大小 其方向为正电荷在该点受力的方向 7 2 3 电场强度叠加原理 点电荷产生的场 定义 点电荷系 点电荷系在某点P产生的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和 这称为电场强度叠加原理 连续分布带电体 电荷线密度 电荷面密度 电荷体密度 P P r 求电偶极子在中垂线上一点产生的电场强度 例 解 P 它在空间一点P产生的电场强度 P点到杆的垂直距离为a 解 dq 由图上的几何关系 2 1 例 长为L的均匀带电直杆 电荷线密度为 求 无限长直导线 讨论 圆环轴线上任一点P的电场强度 R P 解 dq r 例 半径为R的均匀带电细圆
4、环 带电量为q 求 由于圆环上电荷分布关于x轴对称 1 当x 0 即P点在圆环中心处 时 2 当x R时 可以把带电圆环视为一个点电荷 讨论 求面密度为 的圆板轴线上任一点的电场强度 解 P r 例 R 杆对圆环的作用力 q L 解 R 例 已知圆环带电量为q 杆的线密度为 长为L 求 例 解 相对于O点的力矩 1 力偶矩最大 力偶矩为零 电偶极子处于稳定平衡 2 3 力偶矩为零 电偶极子处于非稳定平衡 求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩 讨论 7 3 1 电场线 电力线 反映电场强度的分布 任何两条电场线不会在没有电荷的地方相交 起始于正电荷 或无穷远处 终止于负电荷 或无穷远处 7 3电通
5、量高斯定理 电场线的特点 场强方向沿电场线切线方向 场强大小取决于电场线的疏密 静电场的电场线不会形成闭合曲线 dN 7 3 2 电通量 穿过任意曲面的电场线条数称为电通量 1 均匀场中dS面元的电通量 矢量面元 2 非均匀场中曲面的电通量 2 电通量是代数量 穿出为正 穿入为负 3 闭合曲面电通量 方向的规定 1 穿出 穿入闭合面电力线条数之差 3 通过闭合曲面的电通量 说明 7 3 3 高斯定理 q在任意闭合面内 e与曲面的形状和q的位置无关的 只与闭合曲面包围的电荷电量q有关 1 点电荷q 穿过球面的电力线条数为q 0 穿过闭合面的电力线条数仍为q 0 q在球心处 球面电通量为 电通量为
6、 q q在闭合面外 2 多个电荷 穿出 穿入的电力线条数相等 任意闭合面电通量为 反映静电场的性质 真空中的任何静电场中 穿过任一闭合曲面的电通量 等于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 不连续分布的源电荷 连续分布的源电荷 有源场 电荷就是它的源 意义 是所有电荷产生的 e只与内部电荷有关 3 高斯定理 与电荷量 电荷的分布有关 与闭合面内的电量有关 与电荷的分布无关 2 3 净电荷 就是电荷的代数和 4 利用高斯定理求解特殊电荷分布电场的思路 1 静电场的高斯定理适用于一切静电场 说明 分析电荷对称性 根据对称性取高斯面 根据高斯定理求电场强度 均匀带电球面 总电量为Q 半径为R 电场强度
7、分布 Q R 解 取过场点P的同心球面为高斯面 对球面外一点P r 根据高斯定理 例 求 对球面内一点 电场分布曲线 例 已知球体半径为R 带电量为q 电荷体密度为 R 解 球外 r 均匀带电球体的电场强度分布 求 球内 R r 电场分布曲线 R 解 电场强度分布具有面对称性 选取一个圆柱形高斯面 已知 无限大 均匀带电平面上电荷面密度为 电场强度分布 求 例 根据高斯定理有 已知 无限长 均匀带电直线的电荷线密度为 解 电场分布具有轴对称性 过P点作高斯面 例 距直线r处一点P的电场强度 求 根据高斯定理得 7 4静电场的环路定理电势能 单个点电荷产生的电场 b a L 与路径无关 O 7
8、4 1 静电力的功静电场的环路定理 1 静电力的功 q0 电场力做功只与始末位置有关 与路径无关 所以静电力是保守力 静电场是保守场 任意带电体系产生的电场 在电荷系q1 q2 的电场中 移动q0 静电力所作功为 a b L q0 q0 结论 在静电场中 沿闭合路径移动q0 电场力作功 L1 L2 2 静电场的环路定理 a b 1 环路定理要求电力线不能闭合 2 静电场是有源 无旋场 可引进电势能 讨论 7 4 2 电势能 电势能的差 自a点移至b点过程中电场力所做的功 定义 q0在电场中a b两点电势能之差 电势能 取电势能零点W b 0 等于把q0 q0在电场中某点a的电势能 1 电势能应
9、属于q0和产生电场的源电荷系统所共有 3 选电势能零点原则 2 电荷在某点电势能的值与电势能零点有关 而两点的差值与电势能零点无关 实际应用中取大地 仪器外壳等为势能零点 当 源 电荷分布在有限范围内时 一般选无穷远处 无限大带电体 势能零点一般选在有限远处一点 说明 如图所示 在带电量为Q的点电荷所产生的静电场中 有一带电量为q的点电荷 解 选无穷远为电势能零点 q在a点和b点的电势能 求 例 选C点为电势能零点 两点间的电势能差为 7 5电势电势差 电势定义 电势差 移动单位正电荷自该点 势能零点 过程中电场力作的功 移动单位正电荷自a b过程中电场力作的功 7 5 1 电势电势差 a r
10、 q 点电荷的电势 点电荷系的电势 P 7 5 2 电势叠加原理 对n个点电荷 在点电荷系产生的电场中 某点的电势是各个点电荷单独存在时 在该点产生的电势的代数和 这称为电势叠加原理 对连续分布的带电体 结论 均匀带电圆环半径为R 电荷线密度为 解 建立如图坐标系 选取电荷元dq 例 圆环轴线上一点的电势 求 半径为R 带电量为q的均匀带电球体 解 根据高斯定律可得 求 带电球体的电势分布 例 对球外一点P 对球内一点P1 求电荷线密度为 的无限长带电直线空间中的电势分布 解 取无穷远为势能零点 例 取a点为电势零点 a点距离直线为xa 场中任意一点P的电势表达式最简捷 离带电直线的距离 xp
11、 取 7 6等势面 电势与电场强度的微分关系 7 6 1 等势面 电场中电势相等的点连成的面称为等势面 等势面的性质 1 2 电力线指向电势降的方向 3 等势面的疏密反映了电场强度的大小 等势面 7 6 2 电势与电场强度的关系 取两个相邻的等势面 把点电荷从P移到Q 电场力做功为 电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势的变化率 某点的电场强度等于该点电势梯度的负值 这就是电势与电场强度的微分关系 在直角坐标系中 r 求半径为R 带电量为Q 电荷无规则分布 的细圆环轴线上任 意一点的电势和电场强度按轴线的分量 x 例 解 7 7静电场中的导体电容 7 7 1 导体的静电平衡 1 静电平
12、衡 导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动 我们就说导体处于静电平衡状态 2 导体静电平衡的条件 导体表面 1 从电场角度 2 从电势角度 导体是等势体 表面是等势面 导体的静电平衡 1 静电平衡导体的内部处处不带电 证明 在导体内任取体积元 由高斯定理 体积元任取 导体静电平衡时 电荷只能分布在导体表面 3 静电平衡导体上电荷的分布 导体中各处 如果有空腔 且空腔中无电荷 则 如果有空腔 且空腔中有电荷 则 电荷只能分布在外表面 在内外表面都分布有电荷 q 导体上的电荷重新分布 2 静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系 设导体表面电荷面密度为 设P是导体外紧靠导体表面的一
13、点 相应的电场强度为 确定电场强度E和电荷密度 的关系 为导体表面附近的场强 是所有电荷产生的合场强 为导体外法线方向 尖端放电 导体球孤立带电 4 静电屏蔽 腔内 腔外的场互不影响 由实验可得以下定性的结论 在表面凸出的尖锐部分 曲率是正值且较大 电荷面密度较大 在比较平坦部分 曲率较小 电荷面密度较小 在表面凹进部分带电面密度最小 3 处于静电平衡的孤立带电导体电荷分布 已知导体球壳A带电量为Q 导体球B带电量为q 1 将A接地后再断开 电荷和电势的分布 解 A与地断开后 q 电荷守恒 2 再将B接地 电荷和电势的分布 A接地时 内表面电荷为 q 外表面电荷设为 例 求 1 B球球心处的电
14、势 设B上的电量为 根据孤立导体电荷守恒 2 电容只与导体的几何因素和介质有关 与导体是否带电无关 7 7 2 孤立导体的电容 单位 法拉 F 孤立导体的电势 孤立导体的电容 Q u E 求半径为R的孤立导体球的电容 电势为 电容为 R 通常 由彼此绝缘相距很近的两导体构成电容器 极板 极板 使两导体极板带电 两导体极板的电势差 7 7 3 电容器的电容 电容器的电容 电容器电容的大小取决于极板的形状 大小 相对位置以及极板间介质 d u S Q Q 1 平行板电容器 电容器电容的计算 2 球形电容器 R1 Q Q R2 a b 3 柱形电容器 R1 R2 7 8静电能 以平行板电容器为例 来计算电场能量 设在时间t内 从B板向A板迁移了电荷 在将dq从B板迁移到A板需作功 极板上电量从0 Q作的总功为 忽略边缘效应 对平行板电容器有 能量密度 不均匀电场中 适用于所有电场 已知均匀带电的球体 半径为R 带电量为Q R Q 从球心到无穷远处的电场能量 解 求 例 取体积元
