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1、遂宁市高中 2020届第四学期期末教学水平监测 数学 文科 试题 本试卷分第I 卷 选择题 和第II卷 非选择题 两部分 总分150 分 考试时间120 分钟 第 卷 选择题 满分60 分 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 班级 考号用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上 并检查条形码粘贴是否正确 2 选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上 非选择题用 0 5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内 超出答题区域书 写的答案无效 在草稿纸 试题卷上答题无效 3 考试结束后 将答题卡收回 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共计60 分 在每小题给出的四
2、个选项中 只有一项是符合题 目要求 1 设复数z满足1 iz 则z的共轭复数的虚部为 A 1 B 1 C i D i 2 双曲线 2 2 1 2 x y的渐近线方程为 A 2 2 yx B 2yx C yx D 2yx 3 某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1 所示 在该学期的水 电 交通开支 单位 万元 如图2 所示 则该学期的电费开支占总开支的百分比为 A B C D 4 某单位为了了解用电量y 度 与气温x 之间的关系 随机统计了某4 天的用电量与当天气温 并制作 了对照表 气温 101318 1 用电量 度 38342464 由表中数据得回归直线方程y b x a 中的 b 2 预
3、测当气温为 4 时 用电量度数约为 A 70 B 64 C 68 D 65 5 设p 实数a b 满足1a且1b q 实数a b满足 2 1 ab ab 则p是q的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 如图所示的程序框图输出的结果是 A 34 B 55 C 78 D 89 7 下列说法正确的是 A 命题 0 x xR e 的否定是 0 x xR e B 命题 已知 x yR 若3 xy则2x或1y 是真命题 C 命题 若1 a则函数 2 21fxaxx只有一个零点 的逆命题为真命题 D 2 2xxax在1 2x上恒成立 2 minmin 2 xx
4、ax在1 2x上恒成立 8 若曲线 ln1 a f xx x 在1x的切线与直线yx垂直 则 f x 的单调递增区间是 A 01 B 0 2 C 1 D 2 9 设点F和直线l分别是双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一个焦点和一条渐近线 若F关于直线l的对称 点恰好落在双曲线上 则该双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 5 D 2 10 已知 322 3f xxaxbxa在1x处有极值0 且函数 3212 33 g xxx在区间 c c 5 上 存在最大值 则abc的最大值为 A 6 B 9 C 11 D 4 11 设 A B是抛物线 2 4yx上两点 抛物线的准线与x轴交于
5、点N 已知弦AB的中点M的横坐标为3 记直线 AB和MN的斜率分别为 1 k和 2 k 则 22 12 kk的最小值为 A 2 2 B 2 C 2 D 1 12 设mR 复数 1 zimi在复平面内对应的点位于实轴上 又函数 lnf xmxx 若曲线 yf x与直线 21lykx有且只有一个公共点 则实数k的取值范围为 A 1 1 2 B 01 C 02 D 02 第 卷 非选择题 满分90 分 注意事项 1 请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第 卷答题卡上作答 不能答在此试卷上 2 试卷中横线及框内注有 的地方 是需要你在第 卷答题卡上作答 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13
6、 已知复数12 z ii i是虚数 则复数z的模等于 14 若抛物线 2 1 4 yx的焦点坐标是 15 观查下列式子 1 22 9 1 2 2 3 2 1 2 23 348 25 1 2 2 3 3 4 45 2 根据以上规律 第 n nN 个不等式是 16 若函数 2 2 cos 1 x f xxa xa x 有且只有一个零点 又点 3 1 Pa在动直线 1 1 0m xn y上 的投影为点M 若点33N 那么MN的最小值为 三 解答题 本大题共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程选讲 在平面直角坐标系中 以原点为极点
7、以 x轴非负半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线 C的极坐标方程 为 2 2cos4sin4 直线1 l 的极坐标方程为 cossin 3 写出曲线C和直线 1 l的直角坐标方程 设直线 2 l过点 1 0 P与曲线 C交于不同两点A B AB的中点为M 1 l与 2 l的交点为N 求 PMPN 18 本小题满分12 分 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程 1 求与椭圆 22 1 4924 xy 有公共焦点 且离心率 5 4 e的双曲线的方程 2 求顶点在原点 准线方程为4x的抛物线的方程 19 本小题满分12 分 已知命题p 函数 32 1 3 f xxax在定义域R上单调递增 命题q 0 x
8、ea 在区间0 上恒成立 1 如果命题p为真命题 求实数a的值或取值范围 2 命题 pq 为真命题 pq 为假命题 求实数a的取值范围 20 本小题满分12 分 大学先修课程 是在高中开设的具有大学水平的课程 旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式 学习方法的训练 为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备 某高中成功开设大学先修课程已有两年 共有 250 人参与学习先修课程 这两年学校共培养出优等生150 人 根据如图等高条形图 填写相应列联表 并根据列联表检验能 否在犯错误的概率不超过0 01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系 优等生非优等生总计 学习大学先修课程250 没有学习大学先修
9、课程 总计150 某班有 5 名优等生 其中有 2 名参加了大学先修课程的学习 在这 5 名优等生中任选3 人进行测试 求这 3 人中至少有1 名参加了大学先修课程学习的概率 参考数据 2 0 P Kk 0 15 0 10 0 05 0 025 0 010 0 005 0 k 2 072 2 706 3 841 5 024 6 635 7 879 参考公式 2 2 n adbc K ab cdacbd 其中 nabcd 21 本小题满分12 分 椭圆上顶点为M O 为椭圆中心 F为椭圆的右焦点 且焦距为2 离心率为 2 2 1 求椭圆的标准方程 2 直线 l 交椭圆于P Q 两点 判断是否存在
10、直线l 使点F恰为PQM 的垂心 若存在 求出直线l 的方程 若不存在 请说明理由 22 本小题满分12 分 已知函数 2 lnf xxaxax 1 若函数 f x在 1 0 2 上递减 在 1 2 上递增 求实数a的值 2 若函数 f x在定义域上不单调 求实数a的取值范围 3 若方程ln0 xxm有两个不等实数根 12 x x 求实数m的取值范围 并证明121x x 遂宁市高中 2020届第四学期期末教学水平监测 数学 文科 试题参考答案及评分意见 一 选择题 5 12 60 分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B A D C A B B D C C D A
11、二 填空题 每小题5 分 共 20 分 13 5 14 0 1 15 2 1 1 2 23 34 45 1 2 n nn 16 2 52 三 解答题 本大题 6 小题 共70 分 解答应写出必要文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分10 分 曲线 2 2cos4sin4C的直角坐标方程为 22 244xyxy 即 22 1 2 9xy 1 cossin 3l的直角坐标方程为 30 xy 4分 直线 2 l的参数方程 1cos sin xt yt t为参数 将其代入曲线 C的普通方程并整理得 2 4 cossin 10tt 设 A B两点的参数分别为 12 t t 则 12 4 coss
12、in tt 7 分 因为 M 为AB的中点 故点 M 的参数为 12 2 cossin 2 tt 8 分 设N点的参数为 3 t 把 1cos sin xt yt 代入 30 xy 整理得 3 4 cossin t 9 分 所以 12 3 4 2 cossin 8 2cossin tt PMPNt 10 分 18 本小题满分12 分 1 椭圆 22 1 4924 xy 的焦点坐标为5 0 5 0 又双曲线离心率 5 4 c e a 所以双曲线4 5ac 4 分 故双曲线的方程为 22 1 169 xy 6 分 2 由题意 抛物线的焦点在x轴上 开口向左 48 2 p p 10 分 所以抛物线方
13、程为 2 16yx 12 分 19 本小题满分12 分 1 2 20fxxax对 x恒成立 2 分 2 400aa 5 分 2 0 x ea 在区间 0 上恒成立 即 x ae 在区间 0 上恒成立 命题 q为真命题 即 1a 7 分 由命题 pq 为真命题 pq 为假命题知 p q一真一假 8 分 若 p真q假 a 若 p假q真 则 1 0 0 综上所述 1 0 0 12 分 20 本小题满分12 分 优等生非优等生总计 学习大学先修课程50200250 没有学习大学先修课程1009001000 总计15011001250 3 分 由列联表计算 22 2 1250 50900200100 1
14、8 9396 635 250 10001501100 n adbc K ab cdac bd 5 分 所以在犯错误的概率不超过0 01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系 6 分 在这5名优等生中 记参加了大学先修课程学习的两名学为A B 没参加大学先修课程学习的3 名学生为c d e 在这 5 学生中任选3 人 基本事件是 ABc ABd ABe Acd Ace Ade Bcd Bce Bde cde共 10 种 9 分 其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有 cde共1种 10 分 则这 3 人中至少有1 名参加了大学先修课程学习的概率为 19 1 1010 P 12 分 21 本小
15、题满分12 分 1 设椭圆的标准方程为 22 22 1 xy ab 0 ab 焦距为2c 故221cc 2 分 又 2 2 c e a 222 ab c 2 2a 2 1b 4 分 故椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y 5 分 2 设 1 P x 1 y 2 Q x 2 y F为 PQM 的垂心 MFPQ MPFQ 0 1 MQ 1 0 F 1 MF k 1 PQk 6 分 设直线 PQ 的方程为 yxm 代入到 2 2 1 2 x y得 22 34220 xmxm 22 4 12 22 0mm 解得 33m 且1m 8 分 12 4 3 xxm 2 12 22 3 m x x 9 分
16、Q PFMQ u uu ru uuu r 1 1PFx uuu r 1 y 2 MQx uu u u r 2 1 y 212112 0 xx xyy y 即 2 1212 1 20m xxx xmm 由根与系数的关系 得 2 340mm 解得 4 3 m 或1m 舍去 11 分 故存在直线l 使点F恰为PQM 的垂心 且直线l 的方程为 4 3 yx 12 分 22 本小题满分12 分 1 由于函数 函数 f x在 1 0 2 上递增 在 1 2 上递减 由单调性知 1 2 x是函数的极大值点 无 极小值点 所以 1 0 2 f 2 分 21201 a fxxaaaa x 经验证成立 4 分 2 假设函数 fx 在定义域上单调 则有 0fx 或 0fx 在0 上恒成立 2 2 2 axaxa fxxa xx 故只有使 0fx在0 上恒成立 即 22 202xaxaaxax在 0 上恒成立 令 2 12 2yaxa yx 由图形 数形结合 可得 80a 6 分 故 函数 f x 在定义域上不单调时8a或0a 8 分 3 令 ln 0 h xxx xg xm 11 1 x h x xx 当
