《七级数学下册 3.1 认识三角形深解析教材知识详析拉分典例探究误区警醒知能提升训练探究创新迷你数学世界pdf 新北师大.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七级数学下册 3.1 认识三角形深解析教材知识详析拉分典例探究误区警醒知能提升训练探究创新迷你数学世界pdf 新北师大.pdf（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三 角 形 情境导入 神奇的三角形 从古埃及的金字塔到现代的飞机 从宏观的建筑物到微小的分子结构 处 处都有三角形的形象 你玩过拼图游戏吗 那是用许多各种颜色的小拼板拼成一幅幅美丽的图画 那些拼板有不少是形状相同 大小一样的 不仅如此 只要你留心观察 就会发现 我们周围有许多这类形状 大小完全相同的图形 他们在几何学中具有特殊的意 义 也是我们学习的重要内容 这类图形有什么重要性质 如何判定两个图形是 否属于这类图形 本章将以最简单的多边形 三角形为例研究这些问题 我们已经证明了三角形中的一些结论 在本章中 证明将会发挥更大的作 用 如判定两个三角形全等 证明两条线段相等和两个角相等等问题 通
2、过本章 的学习 你的知识将进一步地丰富起来 动手操作能力和逻辑推理能力将得到 进一步提高 相信你通过学习一定能利用全等知识拼出一幅幅美丽的图案 本章将告诉你 三角形的概念和性质 三角形全等的判定 三角形全 等知识的实际应用 本章学习的难点是 如何判定两个三角形全等以及利用全 等测距离 考点聚集 专题 三角形的定义以及全等形的定义 专题 全等三角形的判定 专题 全等三角形的实际应用 方法指路 结合具体实例 进一步认识三角形的概念及其基本要素 可以动手拼图 来探讨构成三角形的条件 在三角形的角平线 高 中线的学习中 可以比较 观 察 总结各自特点 通过三角形三个内角之间的关系 将三角形按角进行分类
3、 将 此分类与按边分类进行比较 通过实例理解全等的概念和特征 通过全等形的定义来判断两个图形是 否全等 利用动手操作 拼图获取三角形全等的条件 利用模型了解三角形的稳 定性 如可以做一个三角形木架 自己动手看能否使其移动 能用尺规作一个三 角形 在合作交流中发现不足 学会将实物转化为数学图形 利用此技能 可将三角形全等知识应用于 实际距离的测量 将直角三角形全等与一般三角形全等进行类比 由于 直角 是一个隐含 的条件 直角三角形除具有一般三角形全等的判定 还具有一个独特的判定方 法 HL 通过已知条件决定判定三角形全等使用哪一种方法 认识三角形 学 习 目 标 导 航 能记住三角形概念及其基本
4、要素 掌握三条边 三个角之间的关系 会按边 或角对三角形进行分类 能说出三角形中线 角平分线 高的定义 并且能画任意三角形的高线 中 线 角平分线 掌握三角形的内角和定理 并能运用定理解决实际问题 教 材 知 识 详 析 要点 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 三角 形有三条边 三个内角 三个顶点 一般用 表示 如 A B C 顶点A所对的边 B C用a表示 顶点B所对的边A C用b表示 顶点C所对的边A B用c表示 如图 所示 图 图 例 如图 在图中共有 个三角形 精析 解法一 按三角形的构成情况分类计数 单 个 的 三 角 形 有 三 个 分 别
5、 是 A B D AD E A E C 由 两 个 三 角 形 组 成 的 三 角 形 有 两 个 分 别 是 A B E AD C 由三个三角形组成的三角形有一个 是 A B C 所以图中共有 个三角形 解法二 按顶点分类计数 图中的三角形都有一个顶点A 其余 个点 每两个与点A都能构成一个三角 形 有以下几种情况 B与D B与E B与C D与E D与C E与C 所以图中共有 个三角形 解法三 按边分类计数 从图中可以看出 图中所有三角形都有一个边在线段B C上 所以只要数B C 边上的线段条数就可以了 线段B C上共有线段 条 分别是 B D B E B C D E D C E C 所以图
6、中共有 个三角形 解答 我们可以看到 在计算三角形的个数时 分类的方法是多样的 关键是 分类恰当 全面 数数时仔细 做到不多数也不漏数 要点 三角形的边角关系 重点 三角形的三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 三角形的内角和定理 三角形的三个内角的和等于 直角三角形的两个锐角互余 关键提醒 三角形的三边关系定理 三角形的内角和定理在做题时经常作为隐 含条件 所以今后做此类题时要注意这两个定理的运用 例 已知三角形的三边长分别是 x 若x的值为偶数 则x的值有 A 个B 个C 个D 个 精析 由于 x是三角形的三边长 根据三角形两边之和大于第三边有 x x x 所
7、以 x 由于x为偶数 所以x可取 解答 D 判断三条线段能否构成三角形 我们一般使用三角形两边之和大于第 三边来做 我们不需要讨论三次 只需将两个较短边相加 如果大于最长边 则可 以构成三角形 已知两边 求第三边的取值范围的时候 我们一般使用 两边之差 第三边 两边之和 要点 三角形的分类 三角形按角分类可分为锐角三角形 直角三角形和钝角三角形 三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形 例 在 A B C中 A B C 则 A B C 精析 利用三角形内角和是 即可求出 A B C 解答 此三角形是钝角三角形 例 根据条件 判断 A B C的形状 A B A B A A B C 精析 已知
8、三角形中有一个内角是钝角或直角 那么这个三角形一定是钝角三 角形或直角三角形 但要判断一个三角形是锐角三角形 必须是三个内角都是锐 角 所以要根据三角形内角和定理确定各内角的度数 方可判断三角形的形状 解答 C A B A B C是钝角三角形 A B C A B A B C是直角三角形 设 A x B x C x A B C x x x x A B C A B C是锐角三角形 一个三角形最多只能有一个直角或钝角 一个三角形至少有两个锐角 要点 三角形的三条重要线段 重点 在三角形中 连接一个顶点与它对边中点的线段 叫做三角线的中线 三角 形的三条中线交于一点 这一点叫三角形的重心 这一点一定在
9、三角形内 在三角形中 一个内角的角平分线与它的对边相交 这个角的顶点与交点 之间的线段叫做三角形的角平分线 三角形的三条角平分线交于一点 这一点一定 在三角形内 从三角形的一个顶点向它对边所在直线作垂线 顶点和垂足之间的线段叫 做三角形的高线 简称三角形的高 三角形三条高所在直线交于一点 这一点有可 能在三角形内 也有可能在三角形上 还有可能在三角形外 图 如图 对于AD是 A B C的角平分线 有以下两种表示方法 AD平分 B A C B A C B A C 例 画出三个三角形 在第一个三角形中画出三条边上的高 在第二个三 角形中画出三个内角的平分线 在第三个三角形中画出三条边上的中线 从图
10、形中 你发现了什么现象 精析 可以用三角板 刻度尺和量角器画垂线 找线段的中点 作角平分线 进 行比较准确的作图 解答 如图 中画了三角形三条边上的高 中画了三角形三个内角 的平分线 中画了三角形三条边上的中线 图中三线都交于一点 图 所画出的三角形中三条边上的高相交于一点 三个内角平分线也相交 于一点 三条边上的中线也相交于一点 要点 三角形的内角和定理的灵活运用 难点 在三角形中已知两角求第三个角 已知各角之间的数量关系 适当设未知数 求各角 将 直角三角形的两个锐角互余 与 同角 或等角 的余角相等 相结合 来 判断角相等 关键提醒 很多同学能用 三角形三个内角和等于 计算一些简单角度
11、能 对三角形按内角的大小进行分类 并判断三角形是什么三角形 也知道直角三角形 的两锐角互余 但在灵活运用上非常欠缺 这就需要我们去掌握一些经典题型 达 到熟能生巧的境界 例 已知三角形的一个角是第二个角的 倍 第三个角比这两个角的和大 求这个三角形的三个内角的度数 精析 设出最小的角为x 另两个角为 x 和 x x 根据三角形的内角 和为 列出方程 即可求出三个角 解答 设三角形的最小的角为x 则另两个角为 x 和 x x 于是可得 x x x x 解得x 则另两个角为 所以这个三角形的三个角分别是 对于四边形 五边形等 求角的问题 可以把他们转化为三角形的内角 问题来解决 拉 分 典 例 探
12、 究 综合应用 例 要点 如图 是一块三角形木板的残余部分 量得 A 图 B 这块三角形木板另外一个角是 精析 可直接利用三角形内角和定理求得第三个角 C的度数 如图 延长三角形两边 将三角形完整 修复 在 A B C中 C A B 解答 例 要点 小亮要制作一个三角形铁架 现有两根铁条长度分别为 c m c m 小亮将如何选用第三根铁条 能确定它的长度吗 能确定它的长度范 围吗 如果要求第三根铁条的长度是整数 小亮有几种选择 精析 本题主要考查三角形的三边关系 已知两边求第三边 它的长度是不确 定的 但可以求出第三边的取值范围 只有大于其他两边之差 且小于其他两边之 和 三条线段才能构成三角
13、形 解答 不能确定其长度 但可以确定它的取值范围 可设第三边长为ac m 则有 a 即 a 所以第三根铁条的长度在 c m和 c m之间 在 a 中 是整数的有 所以小亮有 种选择 例 要点 如图 已知 A B C 在图 中 画 A B C的中线AD 高AH 并判断 A B D与 A C D 的面积是否相等 为什么 在图 中 画 A B D中边AD上的高B E和 A C D中边AD上的 高C F 并利用第 题的结论说明B E C F 图 精析 先画出中线和高 注意钝角三角形A B D的高B E的画法 在图 中 利 用AH是 A B D和 A C D的公共高且B D C D 即可判断S A B
14、D S A C D 在图 中 根据S A B D S A C D可得 AD B E AD C F 所以B E C F 解答 A B C的中线AD 高AH如图 所示 A B D与 A C D的面积相等 理由如下 因为AD是边B C上的中线 所以B D C D 又S A B D B D AH S A C D C D AH 所以S A B D S A C D A B D的高B E和 A C D的高C F如图 所示 因为S A B D S A C D 所以 AD B E AD C F 所以B E C F 归纳 演绎 三角形的中线平分三角形的面积 等底等高的三角形的面 积相等 探究创新 例 要点 将一副
15、直角三角板按图所示方法放置 直角顶点重合 则 A O B D O C 图 精析 仔细观察后 发现本题无从入手 怎么办呢 同学们我们这样来看这两 个角的和 A O B D O C A O C B O D D O C D O C 而 A O C B O D 所以 A O B D O C 解答 归纳 演绎 本题采用了整体的数学思想 通过角与角之间的加减求出 A O B D O C的 值 也 可 这 么 做 A O B D O C A O D D O C C O B D O C A O C B O D 误 区 警 醒 误区 定义理解不透彻 例 下列关于三角形的说法正确的是 A 由三条线段首尾相连所组成
16、的图形叫三角形 B 由不在同一条直线上的三条线段所组成的图形叫三角形 C 由不在同一条直线上的线段所组成的图形叫三角形 D 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫三角形 错解 选A或B 正解 D 警醒 此题A或B选项具有一定的迷惑性 C选项易排除 三角形概念中强调 不在同一直线上 三条线段 首尾依次相接 显然A选项不符合第 条 件 B选项不符合第 个条件 例 下列关于三角形的分类说法正确的是 A 三角形按边长分类可分为不等边三角形和等边三角形 B 三角形按边长分类可分为不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 C 三角形按角分类可分为锐角三角形和钝角三角形 D 三角形按角分类可分为直角三角形 锐角三角形和钝角三角形 错解 选择A或B 正解 D 警醒 三角形按边来分类许多同学总错误认为可分为不等边三角形和等边三 角形 其实等边三角形是等腰三角形的特例 误区 考虑问题不全 容易漏解 例 如图 点B C D E在同一直线上 则图中共有几个三角形 请 一一表示出这些三角形 图 错解 个 A B C A C D AD E A B E 正解 个 A B C A B D A B E A
