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1、. . .二阶常微分方程解的存在问题分析毕业论文目 录1 引言52 常系数线性微分方程的解法52.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法特征方程法52.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法72.2.1类型：72.2.2类型：103 二阶微分方程的降阶和幂级数解法113.1 可将阶的一些方程类型113.2 二阶线性微分方程的幂级数解法143.3 二阶变系数线性微分方程的常系数化163.3.1 欧拉方程163.3.2 二阶线性微分方程的常系数化174 拉普拉斯变换185 二阶微分方程的存在唯一性205.1 存在唯一性定理205.2 应用举例255.2.1 关于二阶线性齐次方程解的零点255.2.2
2、 二阶线性非齐次方程的边值问题25致 谢28参考文献29.参考资料. . .1 引言二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。本文将主要介绍几种不同类型的二阶线性微分方程的解法，及二阶微分方程的初值问题的存在唯一性定理。2 常系数线性微分方程的解法2.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法特征方程法若是二阶常系数齐次线性微分方程，其中均为常数（2.1）的两个线性无关的解，那么（2.1）的通解就可表示成（为任意常数）由此可知，只要找到方程（2.1）的两个线性无关的解，就能求
3、出（2.1）的通解。我们知道，当为常数时，函数和它的各阶导数只相差一个常数。因此，可以设想（2.1）有形如的解，将代入方程（2.1）得：又，则必有（2.2）即如果是（2.1）的解，则必满足方程（2.2）.反之，若满足方程（2.2），则就是（2.1）的一个特解。我们称方程（2.2）是方程（2.1）的特征方程，它的根就称为特征根，且特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。1）有两个不相等的实根:，易知和是方程（2.1）的两个线性无关的特解，则方程（2.1）的通解为：；2）有两个相等的实根:易知是方程（2.1）的一个特解，设另一特解为，将代入到（2.1）得：（2.3)又，则可得，不妨取，代入（
4、2.3）得：，则方程（2.1）的通解为： ；3） 有一对共轭复根：，易知与是方程（2.1）的两个线性无关的复值解。而，若取，由解的叠加性知，也是方程（2.1）的两个特解，又，于是，就是方程（2.1）的两个线性无关的实值解。从而方程（2.1）的通解为：。2.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法现在讨论二阶常系数非齐次线性微分方程（2.4）的求解问题。这里是常数，是连续函数。我们可以由其对应的齐次线性微分方程(2.1)的通解出发，使用常数变易法求出（2.4）的特解。因而，只要能求出（2.1）的特征根，（2.4）的求解问题就已经解决。但是，这样的方法往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算。事实上，
5、只要求得方程（2.1）的通解，再求出该方程的一个特解，就可得出它的通解表达式。下面，我们讨论当是某些特殊形式的连续函数时，所适用的求解其特解的简便方法待定系数法。2.2.1类型：设是次多项式，即（）下面来证明：1）当不是特征根时，（2.4）有形如的特解，其中是关于的次待定的多项式，即.2）当是重特征根时，（2.4）有形如的特解，其中也是形如上述的次多项式。中的系数可以由待定系数法求得。证： 若，此时，下面分两种情况进行讨论。（i）若不是特征根，（2.4）的特征方程为，则.是次多项式，方程（2.4）有如下形式的特解：（2.5）将（2.5）代人（2.4）得：等式两边的同次幂系数相等，得到一个确定待
6、定系数的方程组：由于，所以上述方程组有唯一解（ii）若是重特征根当时，有，则，方程（2.4）变为：（2.6）令，则（2.6）式变为：（2.7），不是（2.7）的特征根。由（i）知，方程（2.7）有形如：的特解。从而，其中，我们只需求出（2.4）的一个特解，故可取，此时，（2.4）的一个特解为 ：时，有，则，方程（2.4）变为：等式两边积分两次得：，其中，.取，则所以，是重特征根时，方程（2.4）有形如的特解。 若，作变量变换，代入方程（2.4）可化为：即，（2.8）其中，.由变换知，当（2.8）的特征根为时，（2.4）的特征根就为。从而，方程（2.4）的非零特征根就对应于方程（2.8）的零特征
7、根，并且重数也相同。因此，利用的结果就有如下结论：当不是特征根时，（2.4）有形如的特解；当是重特征根时，（2.4）有形如的特解。2.2.2类型：其中，分别为两个已知的关于的次和次多项式，为常数。由欧拉公式，得.故可以改写成（2.9）其中，分别是次和次多项式。可以看出，（2.9）式就相当于两个类型形状的函数相加。由非齐次方程的叠加原理，就可求出类型的特解了。叠加原理 设有二阶非齐次方程（2.10）且分别是方程的解，则函数是方程（2.10）的解。根据叠加原理及类型讨论的结果，我们有1） 当不是特征根时，（2.4）有如下形式的特解即（2.11）2） 当是重特征根时，（2.4）有如下形式的特解即（2
8、.12）其中为两个待定多项式，.注意：当中有一个恒为零时，方程（2.4）仍具有形如（2.11）、（2.12）的特解。即不能当时，就令，而时，就令.3 二阶微分方程的降阶和幂级数解法3.1 可将阶的一些方程类型1.方程不显含未知函数和未知函数的一阶导数，即（3.1）若令,那么，则方程（3.1）即降为关于的一阶微分方程，两边积分得：，两边再次积分，就能得到方程（3.1）的通解.2. 方程不显含未知函数,即（3.2）若令，则方程（3.2）就变为，这是一个关于的一阶微分方程.3. 方程不显含自变量，即（3.3）若令，那么则方程（3.3）就变为这是一个关于的一阶微分方程.4.恰当导数方程型二阶微分方程也
9、可以表示成的形式。若方程（3.4）的左端恰为某一函数对的全导数，即则称方程（3.4）为恰当导数方程。于是，方程（3.4）可写成则有，（为任意常数）这样就把原方程降为了一阶微分方程。5.关于未知函数及其各阶导数都是齐次的方程方程关于未知函数及其各阶导数都是齐次的是指满足.作变换（是新未知函数），则有,代入到（3.4）中，有因为方程关于未知函数及其各阶导数都是齐次的，约去非零公因子，得到上式经整理后可化为的形式，这就是关于新未知函数的一阶微分方程。注意:若，则可作变换。实际问题中，我们作变换后，还要考虑是不是方程的解。6.二阶变系数齐次线性方程（3.5）若已知方程（3.5）的一个非零特解，我们作变
10、换,方程（3.5）就化为一阶变系数齐次微分方程： 即（3.6）其通解为：（为任意常数）我们取，则方程（3.6）的一个特解为：从而（3.5）的一个特解为：常数，线性无关。故方程（3.5）的通解为：（为任意常数） 3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法二阶线性微分方程(3.7)在近代物理学以及工程技术中有着广泛的应用，但是，当它的系数不为常数时，它的解往往不能用“有限形式”表示出来。而幂级数解法就解决了这个问题，它不但对于求解方程有意义，而且由此引出了很多新的超越函数，在理论上具有很重要的地位。定理1 如果在某点的邻域解析，即它们可以展成的幂级数，且，则（3.7）的解在的邻域也能展成的幂级数（3.8
11、）定理2 如果在某点的邻域解析，而是的重零点，是的不低于重的零点（若），是的不低于重的零点（若），则方程（3.7）至少有一个形如（3.9）的广义幂级数解，其中是某一常数。注意：利用定理1、2求解方程（3.7）的过程如下：首先，判断在某点的邻域是否解析，也即是将展成的幂级数。再根据或两种情况，分别在形式上假定（3.7）有形如（3.8）或（3.9）的幂级数解。将（3.8）或（3.9）微分后代人方程（3.7），并令等式两端的同次幂系数相等，从而得到关于（3.8）或（3.9）的系数的方程组，解出代人（3.8）或（3.9）中，便可得到（3.7）的形式解。另外，还要求出（3.8）或（3.9）的收敛区间，由
12、于在收敛区间上才可以进行逐次微分与积分，这说明在前面将（3.8）或（3.9）代人（3.7）中是合理的。即最后所得的幂级数（3.8）或（3.9）在收敛区间上确是我们要求的解。下面举个例子进行简单说明。例：求的通解。解：在点解析且，由定理1可设其有级数解将代入原方程中，得：比较等式两端的的同次幂的系数，有：解之得：更一般地有 ，其中，是任意的。则这个幂级数的收敛半径是无穷大，则上式就是原方程的通解。3.3 二阶变系数线性微分方程的常系数化3.3.1 欧拉方程形如，（3.10）的方程称为欧拉方程，其中都是常数。此方程可以通过变量变换化为常系数线性方程。下面以二阶欧拉方程为例介绍一下此类方程常系数化的
13、过程。我们在开区间上考虑二阶欧拉方程（3.11）令，即，引进新的变量（如果在上，则令，所得结果与上述情况一样）。则有， 于是，我们可得到，将其代入方程（3.11）中，得，（3.12）这样，方程（3.11）就化为了二阶常系数线性方程。根据二阶常系数线性方程的特征方程解法，我们就可以求得方程（3.12）的通解，再将换成原来的变量（注意：），就可得出方程（3.11）的通解。由上述推导过程，我们知道方程（3.12）有形如的解，从而方程（3.11）就有形如的解。将代入（3.11）并约去因子，就得到确定的代数方程（3.13）我们称（3.13）为二阶欧拉方程的特征方程，它的根就称为特征根。类似于二阶常系数线
14、性微分方程的特征方程法中特征根与通解之间的对应关系，我们可以得到：1）当（3.13）有两个不同的实根时，方程（3.11）的通解为；2）当（3.13）有两个相同的实根时，方程（3.11）的通解为；3） 当（3.13）有一对共轭复根，时，方程（3.11）的通解为。3.3.2 二阶线性微分方程的常系数化对二阶变系数齐次线性微分方程（3.14）（其中均为连续函数）作变换，则有，代入到（3.14）中，得（3.15）不妨令的系数等于零，即从而则代入到方程中，整理得（）当取某些特殊的函数时。我们有：1）（为常数），方程（3.15）可化为欧拉方程。2）（为常数），方程（3.15）可化为常系数线性方程。4 拉普拉斯变换我们已经知道二阶常系数线性方程（4.1）的通解结构和求解方法，但是，在实际问题中往往还要求（4.1）的满足初始条件的解。我们当然可以先求出（4.1）的通解，然后由初始条件确定其中的任意常数。此外，还有另外一种方法可以求解初值问题，即拉普拉斯（Laplace）变换法.因为它
