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1、习题1一、 填空题1玻尔的量子化条件为 。2德布罗意关系为 。3用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。4波函数的统计解释：_5 为归一化波函数，粒子在 方向、立体角 内出现的几率为 ，在半径为 ，厚度为 的球壳内粒子出现的几率为 。6波函数的标准条件为 。7 ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为_。8自由粒子体系，_守恒；中心力场中运动的粒子_守恒。9力学量算符应满足的两个性质是 。10厄密算符的本征函数具有 。11设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为_。12. _; _; _。28如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _。13坐标和动量的测不准关系是_。14在定态条件下，守恒的
2、力学量是_。15隧道效应是指_。16量子力学中，原子的轨道半径实际是指_。17 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为 。18对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 。 19设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量力学量 有确定的值 ，则力学量算符 与态矢量 的关系为_。20力学量算符 在态 下的平均值可写为 的条件为_。21量子力学中的态是希尔伯特空间的_；算符是希尔伯特空间的_。21设粒子处于态 ， 为归一化波函数， 为球谐函数，则系数c的取值为 ， 的可能值为， 本征值为 出现
3、的几率为 。 22原子跃迁的选择定则为 。23自旋角动量与自旋磁矩的关系为 。24 为泡利算符，则 ， ， 。25 为自旋算符，则 ， ， 。26乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 _， _。27轨道磁矩与轨道角动量的关系是_;自旋磁矩与自旋角动量的关系是_。27费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_,玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_。27 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则在态 下，自旋算符 对自旋的平均可表示为_；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为_。27 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则 的意义为_；_。二、 计算题1在 和 的
4、共同表象中，算符 和 的矩阵分别为 ， 。求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵 和 对角化。2 一维运动粒子的状态是 其中 ，求（1） 粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。（利用公式 ）3 设在 表象中， 的矩阵表示为 其中 ，试用微扰论求能级二级修正。（10分）4 在自旋态 中，求 。（10分）5 各是厄密算符。试证明， 也是厄密算符的条件是 对易。6 在动量表象中角动量 的矩阵元和 的矩阵元。7求自旋角动量在 方向的投影的本征值和所属的本征函数。8转动惯量为 ，电偶极矩为 的空间转子处在均匀电场 中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（10分）（基态波函数 ，利
5、用公式）9证明下列关系式：1 ， 2. 3. , 4. (其中 为角动量算符， ， 为泡利算符， 为动量算符)10 设 时，粒子的状态为 ，求此时粒子的平均动量和平均动能。11 为厄密算符， （ 为单位算符）， 。（1）求算符 的本征值；（2）在A表象下求算符 的矩阵表示。12 已知体系的哈密顿量 ，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。13一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， ， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。 14证明下列算符的对易关系。1 ；2. ( )3. 设算符 与它们的对易式 对易，即： ，证明： 15设
6、有两个电子，自旋态分别， ，证明两个电子处于自旋单态（ ）及三重态（ ）的几率分别为： （20分）。16求自旋角动量在 方向的投影 的本征值和所属的本征函数（20分）。17由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 。试证明（1） 是厄密算符；（2）有 ；（3） 的本征值为0和1（20分）。18 设在 表象中， 的矩阵表示为 ，其中 ，试用微扰论求能级二级修正（14分）。19证明下列算符的对易关系（24分）： 1 2. ( )3. 设算符 与它们的对易式 对易，即： ，证明： 20一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有 两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？
7、它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？21求证在 的共同本征态下，角动量沿与z轴成 角的方向 的分量 的平均值为 。22证明如算符 有共同的本征函数完备集，则 对易。23求 及 的本征值和所属的本征函数。三 问答题1 电子在均匀电场 中运动，哈密顿量为 ，试判断 各量中哪些是守恒量，为什么？2 经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？3 量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？4 什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？5 表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？6 乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？7 什么是塞曼效应，对简单塞曼
8、效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？8 什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？9 什么是斯塔克效应？10 不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？11 量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？12 什么是定态？定态有什么性质？13 量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？ 14 简述力学量与力学量算符的关系？ 15 轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？16 简述量子力学的五个基本假设。17 简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 18 什么是光
9、电效应？光电效应有什么规律？19 什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。20 简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。21 简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。22 能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？23 原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的？习题21.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量的自由粒子，满足德布洛意关系：_2. 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：_3. 计算1时，团簇（由60个原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长
10、_4. 计算对易式和，其中为动量算符的分量，为坐标的函数.5. 如果算符满足关系式，求证 (1) (2) 6. 设波函数，求7. 求角动量能量算符的本证值和本征态8. 试求算符的本征函数9. 证明一维束缚定态方程的能量E是非简并的10. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称11. 一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数12. 设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的动量期望值和动能期望值13. 一维运动粒子的状态是 其中，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的动量期望值。14. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子
11、的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值. 15.设粒子处于范围在的一维无限深势阱中状态用函数，求粒子能量的可能测量值及相应的几率16. 设氢原子处在的态（为第一玻尔轨道半径），求 (1) 的平均值；(2)势能的平均值17. 质量为的一个粒子在边长为的立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：；试写出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数；18. 氢原子处于态中，问 （1）是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由； （2）在中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少19. 在一维谐振子能量表象中写出坐标x和动量p的矩阵表示20. 在t=0时，自由粒子波函数为(1) 给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；(2) 求出几率最大的动量值；(3) 求出发现粒子在区间中的
