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1、2016新课标三维人教A版数学必修2 3.3 直线的交点坐标与距离公式 直线的交点坐标与距离公式 33.1&3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离 1两直线的交点坐标 (1)两直线的交点坐标： 新知初探 (2)两直线的位置关系 版权所有:中国好课堂 2两点间距离公式 (1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|?x2x1?y2y1?. (2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根 点睛 (1)此公式与两点的先后顺序无关 (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|x2x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，
2、|P1P2|y2y1|. 当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|xy. 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”) (1)过P1(0，a)，P2(0，b)的两点间的距离为ab( ) (2)不论m取何值，xy10与x2my30必相交( ) 答案：(1) (2) 2已知点A(2，1)，B(a,3)，且|AB|5，则a的值为( ) A1 B5 C1或5 D1或5 解析：选C |AB|?a2?31?5， a5或a1. 3两直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，那么k的值为_ k 解析：在2x3yk0中，令x0得y 3k 0代入xky120，解得k将?6. ?3答案：6
3、 典例 求过直线2xy20和xy10的交点，且斜率为3的直线方程 ?2xy20，?x1，? ?解 法一：(点斜式法)解方程组得?所以两直线的交点坐?xy10，?y0， 版权所有:中国好课堂 标为(1,0)，又所求直线的斜率为3， 故所求直线的方程为y03x(1)，即3xy30. 法二：(分离参数法)设所求直线为l，因为l过已知两直线的交点，因此l的方程可设为2xy2(xy1)0(其中为常数)，即(2)x(1)y20 ， 21又直线l的斜率为3，所以3，解得， 41 1将3xy30. 4 活学活用 三条直线ax2y70,4xy14和2x3y14相交于一点，求a的值 ?4xy14，?x4，?解：
4、解方程组得? ?2x3y14，?y2， 所以两条直线的交点坐标为(4，2) 由题意知点(4，2)在直线ax2y70上，将(4，2)代入，得a42(2)7 30，解得a4 典例 (1)已知点A(3,4)，B(2，3)，在x轴上找一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值； (2)已知点M(x，4)与点N(2,3)间的距离为72，求x的值 解 (1)设点P的坐标为(x,0)，则有 |PA| |PB| ?x3?04? ?x2?2?03?2 x6x25， x4x7. 由|PA|PB|， 得x26x25x24x7，解得x5 9，0?. 故所求点P的坐标为?5? |PA| ?93?2?04?22109?5
5、?5 版权所有:中国好课堂 (2)由|MN|2， 得|MN| ?x2?43?72， 即x24x450， 解得x19或x25. 故所求x的值为9或5. 活学活用 已知点A(2，1)，B(4，3)，C(0，5)，求证：ABC是等腰三角形 证明：|AB| |AC| |BC| ?42?31?2， ?02?51?5， ?04?53?5， |AC|BC|. 又点A，B，C不共线， ABC是等腰三角形. 典例 求证：不论为何实数，直线(2)x(1)y63都恒过一定点 证明 法一：(特殊值法)取0，得到直线l1：2xy30， 取1，得到直线l2：x3， 故l1与l2的交点为P(3,3) 将点P(3,3)代入
6、方程左边， 得(2)(3)(1)363， 点(3,3)在直线(2)x(1)y63上 直线(2)x(1)y63恒过定点(3,3) 法二：(分离参数法)由(2)x(1)y63， 整理，得(2xy3)(xy6)0. 则直线(2)x(1)y63通过直线2xy30与xy60的交点 ?2xy30，?x3，由方程组?得? ?xy60?y3. 版权所有:中国好课堂 直线(2)x(1)y63恒过定点(3,3) 活学活用 已知直线：5ax5ya30. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围 13x， 解：(1)证明：直线l的方程可化为ya?5?513所以
7、不论a取何值，直线l恒过定点A?5，5， 又点A在第一象限， 所以不论a取何值，直线l恒过第一象限 (2)令x0，y3a 5 3a0，解得a3. 5 所以a的取值范围为3，). 1过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，求直线l的方程 解：设l1与l的交点为A(a,82a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点 B(a,2a6)在l2上， 代入l2的方程得a3(2a6)100， 版权所有:中国好课堂 解得a4，即点A(4,0)在直线l上， 所以直线l的方程为x4y40. 题点二：点关于线对称 2点P(3,4)关于直线xy20的对称点Q的坐标是
8、( ) A(2,1) C(2，5) 解析：选B 设对称点坐标为(a，b)， a3b4?2220， ?b4?a31，B(2,5) D(4，3) ?a2，解得?即Q(2,5) ?b5，? 题点三：线关于点对称 3与直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是( ) A3x2y20 C3x2y120 B2x3y70 D2x3y80 解析：选D 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x3y60平行， 则可设所求直线方程为2x3yC0. 在直线2x3y60上任取一点(3,0)，关于点(1，1)对称点为(1，2)， 则点(1，2)必在所求直线上， 2(1)3(2)C0，C8. 所求直线方程为2x3y8
9、0. 题点四：线关于线对称 4求直线m：3x2y60关于直线l：2x3y10的对称直线m的方程 解：在直线m上取一点，如M(2,0)， 则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上 设对称点为M(a，b)，则 a2?b0?2?3?2?2?10， ?b02?a231. 630?解得M?1313?. ?2x3y10，设直线m与直线l的交点为N，则由?得N(4,3) ?3x2y60.? 又m经过点N(4,3)， 版权所有:中国好课堂 由两点式得直线m的方程为9x46y1020. 题点五：距离和(差)最值问题 5已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4) (1)在直线l上求一点P，使|
10、PA|PB|最小； (2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大 解：(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)， n0?m22， 则?m2n080，?22 ?m2，?解得?故A(2,8) ?n8，? 因为P为直线l上的一点， 则|PA|PB|PA|PB|AB|， 当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点， ?x2，?x2，解?得? ?x2y80，y3，? 故所求的点P的坐标为(2,3) (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则|PB|PA|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时， |PB|PA|取得最大值，为|AB|
11、， 点P即是直线AB与直线l的交点， 又直线AB的方程为yx2， ?yx2，?x12，?解?得? ?x2y80，y10，? 故所求的点P的坐标为(12,10) 版权所有:中国好课堂 层级一 学业水平达标 1直线x2y20与直线2xy30的交点坐标是( ) A(4,1) 41?C.?33? ?x2y20，?解析：选C 由方程组?得?2xy30，B(1,4) 14 D.33 ?1?y3.4x，3 即直线x2y20与直线2x 41?y30的交点坐标是33?. 2过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与yxm平行，则|AB|的值为( ) A6 C2 解析：选B 由kAB1，得 ba1. |AB| ?54?ba?112. ba1， 1 B.2 D不能确定 3方程(a1)xy2a10(aR)所表示的直线( ) A恒过定点(2,3) B恒过定点(2,3) C恒过点(2,3)和点(2,3) D
