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1、学 海 无 涯 4 2 直线 圆的位置关系直线 圆的位置关系 4 2 1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 一 基础过关 1 直线 3x 4y 12 0 与圆 x 1 2 y 1 2 9 的位置关系是 A 过圆心 B 相切 C 相离 D 相交 2 直线 l 将圆 x2 y2 2x 4y 0 平分 且与直线 x 2y 0 垂直 则直线 l 的方程为 A y 2x B y 2x 2 C y 1 2x 3 2 D y 1 2x 3 2 3 若圆 C 半径为 1 圆心在第一象限 且与直线 4x 3y 0 和 x 轴都相切 则该圆的标准 方程是 A x 2 2 y 1 2 1 B x 2 2 y 1
2、 2 1 C x 2 2 y 1 2 1 D x 3 2 y 1 2 1 4 若直线 ax by 1 与圆 x2 y2 1 相交 则点 P a b 的位置是 A 在圆上 B 在圆外 C 在圆内 D 都有可能 5 过原点 O 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线 设切点分别为 P Q 则线段 PQ 的 长为 6 已知圆 C 过点 1 0 且圆心在 x 轴的正半轴上 直线 l y x 1 被该圆所截得的弦长为 2 2 则圆 C 的标准方程为 7 已知圆 C 和 y 轴相切 圆心 C 在直线 x 3y 0 上 且被直线 y x 截得的弦长为 2 7 求圆 C 的方程 8 已知圆 C x
3、2 y2 2x 4y 4 0 问是否存在斜率为 1 的直线 l 使 l 被圆 C 截得的弦 AB 满足 以 AB 为直径的圆经过原点 二 能力提升 9 由直线 y x 1 上的一点向圆 x 3 2 y2 1 引切线 则切线长的最小值为 A 1 B 2 2 C 7 D 3 10 圆 x2 y2 2x 4y 3 0 上到直线 l x y 1 0 的距离为 2的点有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 11 由动点 P 向圆 x2 y2 1 引两条切线 PA PB 切点分别为 A B 且 APB 60 则动 点 P 的轨迹方程为 12 已知 P 是直线 3x 4y 8 0 上的动点 PA
4、 PB 是圆 C x2 y2 2x 2y 1 0 的两条 切线 A B 是切点 1 求四边形 PACB 面积的最小值 2 直线上是否存在点 P 使 BPA 60 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 说明 理由 学 海 无 涯 三 探究与拓展 13 圆 C x 1 2 y 2 2 25 直线 l 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 m R 1 证明 不论 m 取什么数 直线 l 与圆 C 恒交于两点 2 求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度 并求此时 m 的值 学 海 无 涯 答案答案 1 D 2 A 3 A 4 B 5 4 6 x 3 2 y2 4 7 解 设圆心坐标为 3m m
5、圆 C 和 y 轴相切 得圆的半径为 3 m 圆心到直线 y x 的距离为 2m 2 2 m 由半径 弦心距的关系得 9m2 7 2m2 m 1 所求圆 C 的方程为 x 3 2 y 1 2 9 或 x 3 2 y 1 2 9 8 解 假设存在且设 l 为 y x m 圆 C 化为 x 1 2 y 2 2 9 圆心 C 1 2 解方程组 y x m y 2 x 1 得 AB 的中点 N 的坐标 N m 1 2 m 1 2 由于以 AB 为直径的圆过原点 所以 AN ON 又 AN CA 2 CN 2 9 m 3 2 2 ON m 1 2 2 m 1 2 2 所以 9 3 m 2 2 m 1 2
6、 2 m 1 2 2 解得 m 1 或 m 4 所以存在直线 l 方程为 x y 1 0 和 x y 4 0 并可以检验 这时 l 与圆是相交于 两点的 9 C 10 C 11 x2 y2 4 12 解 1 如图 连接 PC 由 P 点在直线 3x 4y 8 0 上 可设 P 点坐标为 x 2 3 4x 圆的方程可化为 x 1 2 y 1 2 1 所以 S四边形 PACB 2S PAC 2 1 2 AP AC AP 因为 AP 2 PC 2 CA 2 PC 2 1 所以当 PC 2最小时 AP 最小 因为 PC 2 1 x 2 1 2 3 4x 2 5 4x 1 2 9 所以当 x 4 5时
7、PC 2 min 9 所以 AP min 9 1 2 2 学 海 无 涯 即四边形 PACB 面积的最小值为 2 2 2 假设直线上存在点 P 满足题意 因为 APB 60 AC 1 所以 PC 2 设 P x y 则有 x 1 2 y 1 2 4 3x 4y 8 0 整理可得 25x2 40 x 96 0 所以 402 4 25 96 0 所以这样的点 P 是不存在的 13 1 证明 直线 l 的方程可化为 2x y 7 m x y 4 0 m R l 过 2x y 7 0 x y 4 0 的交点 M 3 1 又 M 到圆心 C 1 2 的距离为 d 3 1 2 1 2 2 5 5 点 M 3 1 在圆内 过点 M 3 1 的直线 l 与圆 C 恒交于两点 2 解 过点 M 3 1 的所有弦中 弦心距 d 5 弦心距 半弦长和半径 r 构成直角三 角形 当 d2 5 时 半弦长的平方的最小值为 25 5 20 弦长 AB 的最小值 AB min 4 5 此时 kCM 1 2 kl 2m 1 m 1 l CM 1 2 2m 1 m 1 1 解得 m 3 4 当 m 3 4时 取到最短弦长为 4 5
