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1、实验二 应用FFT对信号进行频谱分析一、实验目的：1、在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT算法及其程序的编写。 2、熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。 3、了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。 二、实验原理： 就是将单位圆进行N等分以后第k个点。所以，X(k)是z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅立叶变换的等距采样。时域采样在满足Nyquist定理时，就不会发生频谱混淆；同样地，在频率域进行采样的时候，只要采样间隔足够小，也不会发生时域序列的混淆。 DFT是对序列傅立叶变换的等距采样，因此可以用于序
2、列的频谱分析。在运用DFT进行频谱分析的时候可能有三种误差，分析如下：（1）混淆现象 从式（2-6）中可以看出，序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓，周期是2/T，因此当采样速率不满足Nyquist定理，即采样频率小于两倍的信号（这里指的是实信号）频率时，经过采样就会发生频谱混淆。这导致采样后的信号序列频谱不能真实地反映原信号的频谱。所以，在利用DFT分析连续信号频谱的时候，必须注意这一问题。避免混淆现象的唯一方法是保证采样的速率足够高，使频谱交叠的现象不出现。这就告诉我们，在确定信号的采样频率之前，需要对频谱的性质有所了解。在一般的情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样之前，先用低
3、通模拟滤波器对信号进行滤波。（2）泄漏现象 实际中的信号序列往往很长，甚至是无限长序列。为了方便，我们往往用截短的序列来近似它们。这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析。这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数。而矩形窗函数的频谱不是有限带宽的，从而它和原信号的频谱进行卷积以后会扩展原信号的频谱。值得一提的是，泄漏是不能和混淆完全分离开的，因为泄露导致频谱的扩展，从而造成混淆。为了减小泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减到最小。（3）栅栏效应因为DFT是对单位圆上z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数。这样就产生了栅栏效应，从某种角度来看，用DFT来观看频谱就
4、好像通过一个栅栏来观看一幅景象，只能在离散点上看到真实的频谱。这样的话就会有一些频谱的峰点或谷点被“栅栏”挡住，不能被我们观察到。减小栅栏效应的一个方法是在源序列的末端补一些零值，从而变动DFT的点数。这种方法的实质是认为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了“栅栏”的位置，从而使得原来被挡住的一些频谱的峰点或谷点显露出来。注意，这时候每根谱线多对应的频率和原来的已经不相同了。 从上面的分析过程可以看出，DFT可以用于信号的频谱分析，但必须注意可能产生的误差，在应用过程中要尽可能减小和消除这些误差的影响。快速傅立叶变换FFT并不是与DFT不相同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数
5、的一种快速算法。它是对变换式（2-7）进行一次次的分解，使其成为若干小点数DFT的组合，从而减小运算量。常用的FFT是以2为基数，其长度。它的运算效率高，程序比较简单，使用也十分地方便。当需要进行变换的序列的长度不是2的整数次方的时候，为了使用以2为基的FFT，可以用末尾补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。IFFT一般可以通过FFT程序来完成，比较式（2-7）和（2-8），只要对X(k)取共轭，进行FFT运算，然后再取共轭，并乘以因子1/N，就可以完成IFFT。三、实验内容：1、观察高斯序列的时域和频域特性代码如下：（1）n=0:15; %定义序列的长度为15p=8; q=2; x=exp
6、(-1*(n-p).2/q); %利用fft函数实现傅里叶变换close all;subplot(3,2,1);stem(x,.),title(p=8, q=2时的高斯序列)subplot(3,2,2); stem(abs(fft(x),.),title(p=8, q=2的fft幅频曲线)p=8; q=4; x=exp(-1*(n-p).2/q); %改变信号参数，重新计算subplot(3,2,3);stem(x,.),title(p=8, q=4时的高斯序列)subplot(3,2,4); stem(abs(fft(x),.),title(p=8, q=4的fft幅频曲线)p=8; q=8
7、; x=exp(-1*(n-p).2/q);subplot(3,2,5);stem(x,.),title(p=8, q=8时的高斯序列)subplot(3,2,6); stem(abs(fft(x),.),title(p=8, q=8的fft幅频曲线)得到图像如下：(2)n=0:15; %定义序列的长度为15p=8; q=8; x=exp(-1*(n-p).2/q); %利用fft函数实现傅里叶变换close all;subplot(3,2,1);stem(x,.),title(p=8, q=8时的高斯序列)subplot(3,2,2); stem(abs(fft(x),.),title(p=
8、8, q=8的fft幅频曲线)p=13; q=8; x=exp(-1*(n-p).2/q); %改变信号参数，重新计算subplot(3,2,3);stem(x,.),title(p=13, q=8时的高斯序列)subplot(3,2,4); stem(abs(fft(x),.),title(p=13, q=8的fft幅频曲线)p=14; q=8; x=exp(-1*(n-p).2/q);subplot(3,2,5);stem(x,.),title(p=14, q=8时的高斯序列)subplot(3,2,6); stem(abs(fft(x),.),title(p=14, q=8的fft幅频曲
9、线)2. 观察衰减正弦序列的时域和幅频特性（1）n=0:15;a=0.1;f=0.0625;xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);close all;subplot(2,2,1);stem(xb,.),title(衰减正弦序列)subplot(2,2,3);stem(fft(xb),.),title(衰减正弦序列的频谱)subplot(2,2,4);stem(abs(fft(xb),.);title(衰减正弦序列的幅度谱)（2）n=0:15;a=0.1;f=0.4375;xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);close all;subplot(2,2,1);
10、stem(xb,.),title(衰减正弦序列)subplot(2,2,3);stem(fft(xb),.),title(衰减正弦序列的频谱)subplot(2,2,4);stem(abs(fft(xb),.);title(衰减正弦序列的幅度谱)n=0:15;a=0.1;f=0.5625;xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);close all;subplot(2,2,1);stem(xb,.),title(衰减正弦序列)subplot(2,2,3);stem(fft(xb),.),title(衰减正弦序列的频谱)subplot(2,2,4);stem(abs(fft(xb)
11、,.);title(衰减正弦序列的幅度谱)3.观察三角波序列和反三角波序列的时域和幅频特性(1)for n=1:4 %matlab数组下标从1开始 xc(n)=n+1; xd(n)=4-n;endfor n=5:8 xc(n)=8-n; xd(n)=n-3;endclose all;subplot(3,2,1),stem(xc,.);title(三角波序列xc)subplot(3,2,2),stem(xd,.);title(反三角波序列xd)subplot(3,2,3);stem(fft(xc),.);title(三角波序列xc的频谱)subplot(3,2,4);stem(fft(xd),.
12、);title(反三角波序列xd的频谱)subplot(3,2,5);stem(abs(fft(xc),.);title(三角波序列xc的幅度谱)subplot(3,2,6);stem(abs(fft(xd),.);title(反三角波序列xd的幅度谱)（2）for n=1:4 %matlab数组下标从1开始 xc(n)=n+1; xd(n)=4-n;endfor n=5:8 xc(n)=8-n; xd(n)=n-3;endclose all;subplot(3,2,1),stem(xc,.);title(三角波序列xc)subplot(3,2,2),stem(xd,.);title(反三角波
13、序列xd)subplot(3,2,3);stem(fft(xc，16),.);title(三角波序列xc的频谱)subplot(3,2,4);stem(fft(xd，16),.);title(反三角波序列xd的频谱)subplot(3,2,5);stem(abs(fft(xc，16),.);title(三角波序列xc的幅度谱)subplot(3,2,6);stem(abs(fft(xd，16),.);title(反三角波序列xd的幅度谱)MatLab上机内容2.N=63;n=0:62;a=0.1;f=0.5625;xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);close all;su
14、bplot(3,2,1);stem(xb,.),title(衰减正弦序列)subplot(3,2,3);stem(fft(xb),.),title(衰减正弦序列的频谱)subplot(3,2,4);stem(abs(fft(xb),.);title(衰减正弦序列的幅度谱)w=randn(1,N);y=xb+w;subplot(3,2,5);stem(y,.);title(叠加后的信号序列y)subplot(3,2,6);stem(fft(y),.);title(y的频谱)3.N=63;n=0:62;a=0.1;f=0.0625;xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);close all;subplot(3,2,1);stem(xb,.),title(衰减正弦序列)subplot(3,2,3);stem(fft(xb),.),title(衰减正弦序列的频谱)subplot(3,2,4);stem(abs(fft(xb),.);title(衰减正弦序列的幅度谱)w=randn(1,N);y=xb+w;subplot(3,2,5);stem(y,.);title(叠加后的信号序列y)subplot(3,2,6);stem(fft(y),.);title(y的频谱)四、思考题 1、 实验中的信号序列，在单位圆上的z变换频谱
