《同济大学微积分第三版课件第二章第九节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学微积分第三版课件第二章第九节（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节函数单调性与曲线凹凸性的判别法 本节要点 本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函 一 函数单调性的判别法 二 函数的凹凸性的判别法 数的单调性及函数的凹凸性 一 函数单调性的判别法 问题的提出 设函数如果函数 负 即 如果函数在 在上单调增加 则曲线的图形是一条沿轴正向 逐渐上升的曲线 因而曲 线上各点处的切线斜率非 反之 由导数的定义及极限的保号性 上单调减少 则曲线的图形是一条沿轴正向逐下降的 曲线 因而曲线上各点处的切线斜率非正 即 由此可见 函数的单调性与其导函数的符号有密切的关 系 我们可证明 若可导函数在区间上单调增加 减少 反之 我们有 定理 函数单调性的判别法 若
2、 若有 且则 若有 则对任意的 有 则在上 单调增加 则在上 单调减少 证仅证 则由拉格朗日中 又因 故 由此说明函数是单调增加的 值定理 得 例1判定函数 解因 我们知道 函数是 的单调性 所以 是单调增加的 单调增加的 但 此说明一个单调增加的函数 其导函数可能有若干个零点 作为一般结论 我们有 定理若函数在区间上可导 且在 例2设则 所以 函数在任何一个有限区间仅有有限个驻点 由 的任何一个有限区间内仅有有限个零点 则 是单调增加的 上面的定理知函数是单调增加的 例3讨论函数 解因所以当 即 的单调性 是单调减少的 当 增加的 即函数是单调 可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表 注
3、此例说明了如何去讨论函数的单调性 若函数点 点可导 则可根据函数的驻点将函数划分成若干个单调 区间 但若函数在某些点不可导 则此方法不再适用 例4求函数 解函数的定义域为并且在区间 当从而将定义域分成三个区间 当因而函数单调增加 的单调区间 内连续 的导数为 当因而函数单调减少 当因而函数单调增加 将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下 结合上面的两个例子 我们得到求函数单调区间的一 确定函数的定义域 求出函数的一阶导函数 并求出函数的驻点及不可 根据驻点和导数不存在的点 划分区间 注意到 般方法 导点 导函数在每一个区间内的符号不会改变 从而有确定的 单调性 应用 证明不等式 例5证明当
4、时 有 证令 所以函数在区间中是单调增加的 因而 则 当时 有 注从这个例中可以看出 利用单调性证明不等式的 即 基本方法 问题证明当时有 方法 构造函数 验证从而函数在 由此得到 当时 有 在中连续 可导 且函数 给定的区间上单调增加 即 例6证明 证令 所以 所以在上单调增加 从而 且 由此即得 二 函数的凹凸性及判别法 在上节中 我们引入了函数的单调性和相应的判别法 但是曲线弧在上升或下降的过程 函数的单调性在几何上反应的是曲线弧的上升或下降 还存在一个方向性的问题 它 直接影响了曲线的上升或下降 的速度问题 右图则反应了该问题 这样的问题即称为曲线的凹凸性 我们引入下面的定义 定义设函
5、数在区间中连续 如果对任意的 则称函数的图形是是 下凸 凹的 或凹弧 都有 都有 如果对任意的 则称函数的图形在区间是 向上 凸的 或凸 弧 见下图 凹弧 凸弧 凹凸性 则称点 如果函数的图形在经过点时改变了 的一个拐 点 是曲线 曲线凹凸性判别法 设且导函数在 内单调增加 减少 那么曲线在内是凹 凸 证 单击 的 即有如下的 更进一步地 如果函数在区间有二阶导数 则 定理如果则曲线在内是凹 的 如果则曲线在区间内是 我们可以通过二阶导函数的符号来判定曲线的凹凸性 凸的 例7对函数因由判别法知函 数在定义域内是凸函数 再对函数 因知函数在定义域内是凹函数 例8设函数 解当时 当时而当时 二阶导数不存 求曲线的凹凸区间 在 从而将函数的定义域划分成三个区间 将函数的二阶导数符号及凹凸性按三个区间列表如下 当 当 当 从而点是曲线的拐点 而不是曲线 函数的图形如下图所示 曲线是凸弧 的拐点 曲线是凸弧 曲线是凹弧 图形经过下列点 利用曲线的凹凸性可以证明某些不等式 例9设是任意两个正数 证明不等式 并且不等式成为等式的充分必要条件是 证由例7知曲线在整个定义域内是凸曲线 故 而当时 不等式成为等式 即有 对时 由凸曲线的定义 有 不等式两端同取以为底的指数 则有 并且当且仅当时等式成立
