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1、國中數學(四)199平行與四邊形 4-1 平行線1. 平行線的性質2. 平行線的截線性質3. 平行線的判別 4-2 平行四邊形1. 平行四邊形的性質2. 平行四邊形的判別 4-3 特殊的平行四邊形與梯形1. 特殊的平行四邊形2. 梯形日常生活中，平行線處處可見，如筆直的鐵軌、樓梯的護欄、百葉窗、都可以看到平行的直線。平行線有哪些性質，這是本章學習的一個重點，並在這個基礎上進一步去研究平行四邊形與梯形的性質。菱形、矩形、正方形是比較特殊的平行四邊形，它們的蹤影可以從花園的造型、建築物的窗戶、地面上鋪的磁磚、衣帽架或其它裝飾品中看到。本章的主題就是探討平行線、平行四邊形、梯形的性質。採雙管齊下的方
2、式：(1) 首先透過操作實驗去察覺它們的性質。(2) 其次引用三角形全等性質去說理、推理，強化對這些圖形性質的認識與掌握。4-1平行線筆直的兩條鐵軌、百葉窗、書本、門框的上下兩邊，都給我們平行線的初步形象。有些國家的國旗或公司的標誌圖案，也是由平行線所構成的。木工師傅在教室的牆上釘木條做公告欄，如果木條甲與木條丙垂直，那麼木條乙與木條丙的夾角為多少度時，才能與木條甲平行呢？我們知道：若兩條直線都垂直於同一直線，則此兩條直線叫做平行線，或稱此兩直線平行。如右圖，因為直線L、M分別垂直於直線N，故L與M是平行線，記作L / M，讀作L平行於M或L與M平行。1 平行線的性質給一條直線L及L外一點P，
3、試問可以畫出多少條平行於L的直線？其中通過P點的直線有多少條？ 用三角板畫平行線 (1) 如圖4-1，把三角板甲的一股通過點P，並與直線L垂直。再將三角板乙的一股與直線L重合，另一股靠緊三角板甲的直角頂。(2) 如圖4-2，向上移動三角板乙，則可畫出與直線L平行的直線。（為什麼？）(3) 所有平行線中，通過P點的直線只有一條M，如圖4-2。圖4-2圖4-1因為直線L、M都垂直於三角板甲的一邊，所以M / L。又直線M通過P點，這樣的直線M可以作出一條，而且只能作出一條。因此我們可得知：通過直線L外一點P，有一條且只有一條直線與L平行。隨堂練習在右圖中，(1) 請利用直尺或三角板，畫出通過的中點
4、P，且平行於底邊 的直線。答：(2) 請利用直尺或三角板，任意畫出三條平行於底邊 的直線。答：我們知道任意四邊形的內角和是360，現在我們根據這個概念來探討平行線的一些性質。活動一平行線的性質已知直線L1 / L2，且都垂直於同一條直線M。如果直線NL1，那麼直線NL2嗎？【實驗】用量角器量右圖中的C，得出C90度。【說理】在四邊形ABCD中，已知ABD90，由四邊形內角和是360，推知C90度。【結論】直線N也會垂直於另一條平行線L2。由活動一得到平行線的基本性質：如果有一條直線垂直於兩條平行線中的一條直線，那麼此直線也垂直於另一條平行線。平行於同一直線的兩直線必平行如圖4-3、4-4，已知
5、L1 / L，L2 / L，那麼L1與L2會平行嗎？為什麼？圖4-4圖4-3答：會。因為四邊形BCDP之內角和為360，故BPD90，所以L1、L2皆與M垂直，故L1 / L2。從上面的問題與討論中得知平行線的另一個基本性質：如果有兩條直線都分別與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。如果玩具車直線前行，那麼左、右兩輪輾過的痕跡永遠互相平行且不相交。試問兩條平行直線之間的寬度都一樣嗎？活動二平行線的距離如下圖，在紙上畫兩條平行線L1與L2，並在其中一條直線上選取A、B、C三點，通過A、B、C三點分別作另一條平行線的垂線，垂足依序為A、B、C。請量一量、 的長度是不是都相等。答：是。在活動二
6、中，透過量一量，我們得出 ，即兩條平行線之間的垂直線段都等長。我們規定：介於兩條平行線之間的垂直線段的長度為這兩條平行線的距離。因此我們知道： 1. 兩平行線之間的距離處處相等。 2. 平行的兩條直線永不相交。隨堂練習如右圖，在方格紙上選取一點D，使得ABD的面積與ABC的面積一樣大。答：等面積的三角形 例題一 如右圖，已知L1 / L2，則在四邊形ABCD內，面積相等的三角形有哪些？解：因為L1 / L2，所以ABC與ABD等高（高為h），又同底（ 為底），故ABC與ABD的面積相等。同理，CDA與CDB的面積相等。OAD面積ABD面積 OAB面積 ABC面積 OAB面積OBC面積故OAD與
7、OBC面積相等。隨堂練習如右圖，四邊形ABCD中，已知 / ， / ， 與 交於O點。請問ACD面積ABD面積嗎？ABC面積ABD面積嗎？答：因為 / ，所以同底等高，故ACDABD；因為 / ，所以同底等高，故ABCABD。2 平行線的截線性質 同位角、內錯角、同側內角如右圖，若直線L1、L2都與直線L相交（或者說直線L1、L2被直線L所截），則L稱為截線。我們將它們所構成的八個角，分別記作1、2、 、8。其中有共同頂點A（或B）的兩種角是相鄰的補角（例如：1與2），與對頂角（例如：1與3），我們要觀察的是不共頂點的兩個角的關係。1與5同在頂點A、B的右上方，3與7同在頂點A、B的左下方，像
8、這樣位置對應相同的兩個角叫做同位角。其它如2與6、4與8也都是同位角。4與5分別在直線L1與L2之間，並且在截線L的同一側，像這樣在截線同一側的兩個角叫做同側內角。其它如3與6也是同側內角。3與5都在直線L1與L2之間，並且分別在截線L的兩側，像這樣位置交錯的兩個角叫做內錯角。其它如4與6也是內錯角。隨堂練習如右圖，在1、2、8中，(1) 哪些是同位角？答：3與5，1與7，6與8，2與4。(2) 哪些是同側內角？答：5與8，4與7。(3) 哪些是內錯角？答：4與5，7與8。 平行線的截線性質前面談過平行線的性質。如果平行線被一直線所截，那麼平行線還有哪些性質呢？活動三平行線被一直線所截，同位角
9、相等 1. 在右圖中，L是直線L1、L2的一條截線，且L1 / L2。(1) 用量角器量一量同位角1與5的角度，它們的角度大小會相等嗎？答：會。(2) 再量一量其它各組的同位角，它們的角度大小是否也會相等？答：是。 2. 在右圖中，已知L1 / L2，請你任意畫一條截線M，並量一量其中一組的同位角，它們的角度大小會相等嗎？答：會。由活動三的操作實驗，我們觀察到：兩條平行線被一直線所截，則它們的同位角相等。也就是：兩直線平行，同位角相等。事實上，活動三的結果也可以用三角形內角和為180的性質推得。同位角相等例題二 若L1 / L2，且M是L1、L2的一條截線，請說明同位角相等。解：如右圖，依據平
10、行線的定義，可以知道直線L1、L2都垂直於某一直線L。(1) 如果M與L1、L2都垂直，則每一組同位角都是90，所以同位角相等。(2) 如果M與L1、L2不垂直，設直線L與M相交於P點，因為PAC和PBD都是直角三角形，其中PCAPDB90，所以190 3，290 3，故12。再利用對頂角相等，鄰角互補的性質，可知其它各組的同位角亦相等，即兩直線平行，其同位角相等。同位角的應用例題三 如右圖，已知兩平行直線AB、CD被直線AE所截，且1105，則2、3、4是多少度？解：2與1是同位角，故21105。2與3是對頂角，故32105。4與2是鄰角，故4180 2180 10575。隨堂練習如右圖，若
11、L1 / L2，且M是L1、L2的一條截線，則：(1) 1、2、3和4各是多少度？答：1180 70110，470，370，2180 3110(2) 內錯角12嗎？34嗎？答：是，是。(3) 同側內角1 3180 嗎？2 4180 嗎？答：是，是。互導同位角、內錯角、同側內角之性質如右圖，L1 / L2且M是L1與L2的一條截線。請問： (1) 如果同位角14，那麼 內錯角2與4相等嗎？同側內角3與4互補嗎？答：因為12，所以24。因為1 3180，所以3 4180。(2) 如果內錯角24，那麼同位角1與4相等嗎？同側內角3與4互補嗎？答：因為12，所以14。因為2 3180，所以3 4180
12、。(3) 如果同側內角3 4180，那麼同位角1與4相等嗎？內錯角2與4相等嗎？答：因為1 3180，所以1 33 4，故14。因為2 3180，所以2 33 4，故24。在上面的問題與討論中，透過對頂角相等及鄰角互補的性質可以知道：同位角相等內錯角相等同側內角互補三項敘述中，若有一項成立，則可以推出其餘兩項必成立。如右圖所示。綜合以上的說明，得到平行線的截線性質：若兩條平行線被一直線所截，則同位角相等，內錯角相等，同側內角互補。隨堂練習如右圖，已知 / ，A點在 上，B、C點在 上。若ACH100，ABC40，求CAF、EAB、ACB、BAC的角度。答：CAF180 10080，EABABC40，ACBCAF80，BAC180 40 8060。內錯角的應用例題四 如右圖，已知 / ，求CDE的角度。分析：過C點作 / ，則 / ，如右圖。解：因為 / ，所以145（內錯角相等），且2360 280 1360 280 4535，故CDE180 2180 35145。隨堂練習在右圖中，已知 / ，且ABC45，CDE30，求BCD的角度。答：作 / ，則 / BCDBCF DCF
