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1、3.2 利用导数研究函数的单调性核心考点精准研析考点一不含参数的函数的单调性1.函数y=xln x的单调递减区间是()A.(-,e-1)B.(e-1,+)C.(e,+)D.(0,e-1)2.函数f(x)=(x+2)exx的单调递增区间为.3.(2019浙江高考改编)函数f(x)=-34ln x+x+1的单调递减区间为_.4.(2019天津高考改编)函数f(x)=excos x的单调递增区间为_.【解析】1.选D.函数y=xln x的定义域为(0,+), 因为y=xln x,所以y=ln x+1,令y0得0x0,解得x-1+3.所以f(x)的递增区间为(-,-1-3)和(-1+3,+).答案:(
2、-,-1-3)和(-1+3,+)3.f(x)=-34ln x+1+x的定义域为(0,+).f(x)=-34x+121+x=(1+x-2)(21+x+1)4x1+x,由x0知1+x0,21+x+10,所以由f(x)0得1+x-20,解得0x3,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3).答案:(0,3)4.由已知,有f(x)=ex(cos x-sin x).因此,当x2k-34,2k+4(kZ)时,有sin x0,则f(x)单调递增.所以f(x)的单调递增区间为2k-34,2k+4(kZ).答案:2k-34,2k+4(kZ)题2中,若将“f(x)=(x+2)exx”改为“f(x)=x2ex”,则
3、函数f(x)的单调递减区间是_.【解析】因为f(x)=x2ex,所以f(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex.由f(x)0,解得-2x0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f (x)0,试讨论函数f(x)的单调性.【解题导思】序号题目拆解(1)求f(x),解方程f(x)=0求f(x)的定义域,求f(x)并进行恰当的因式分解,求出方程f(x)=0的根(2)由f(x)的符号确定f(x)的单调性用导数为零的实数分割定义域,逐个区间分析导数的符号,确定单调性【解析】因为f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x, 所以f(x)=2ax2-(2a+1)x+1x=(2ax-1)(x
4、-1)x,由题意知函数f(x)的定义域为(0,+), 令f(x)=0得x=1或x=12a,(1)若12a12,由f(x)0得x1或0x12a,由f(x)0得12ax1,即0a0得x12a或0x1, 由f(x)0得1x12a, 即函数f(x)在(0,1),12a,+上单调递增, 在1,12a上单调递减; (3)若12a=1,即a=12,则在(0,+)上恒有f(x)0, 即函数f(x)在(0,+)上单调递增.综上可得:当0a12时,函数f(x)在0,12a上单调递增, 在12a,1上单调递减,在(1,+)上单调递增.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据
5、参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.(2018全国卷I改编)已知函数fx=1x-x+aln x,讨论fx的单调性.【解析】f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2.(1)若a2,则f(x)0,当且仅当a=2,x=1时f(x)=0,所以f(x)在(0,+)上单调递减.(2)若a2,令f(x)=0得,x=a-a2-42或x=a+a2-42.当x0,a-a2-42a+a2-42,+时,f(x)0.所以f(x)在0,a-a2-42,a+a2-42,+上单调递减,在a-a2-42
6、,a+a2-42上单调递增.考点三利用导数解决函数单调性的应用问题命题精解读1.考什么:(1)考查函数图像的识别、比较大小或解不等式、根据函数的单调性求参数等问题.(2)考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养及数形结合、转化与化归的思想方法.2.怎么考:与基本初等函数、不等式等综合考查函数的图像及函数的单调性的应用等问题.3.新趋势:以导数法研究函数单调性为基础,综合考查利用单调性比较大小、解不等式及知单调性求参数的范围.学霸好方法由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间D上单调,实际上就是在该区间上f (x)0(或f (x)0)恒成立,从而构建不等式, 求出参数的取值范
7、围,要注意“=”是否可以取到.(2)可导函数在区间D 上存在单调区间,实际上就是f (x)0(或f (x)0(或f (x)min0时,g(x)g(0)=0,故x0时,f(x)=xg(x),f(x)=g(x)+xg(x)0,即f(x)在(0,+)上单调递增,故只有A符合题意.辨别函数的图像主要从哪几个角度分析?提示:从函数奇偶性、单调性、最值及函数图像所过的特殊点等角度分析.比较大小或解不等式【典例】(2019兰州模拟)函数f(x)在定义域R内可导,f(x)=f(4-x),且(x-2)f(x)0.若a=f(0),b=f12,c=f(3),则a,b,c的大小关系是()A.cbaB.cabC.abc
8、D.bac【解析】选C.由f(x)=f(4-x)可知,f(x)的图像关于直线x=2对称,根据题意知,当x(-,2)时,f(x)0,f(x)为增函数.所以f(3)=f(1)f12f(0),即cb0,且当x趋向于-时,g(x)趋向于0,所以0a,即a的取值范围是(-,0.答案:-1(-,0函数f(x)在某区间上是增函数,推出f(x)0还是f(x)0?提示:推出f(x)0.1.设函数y=f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所示,则导函数y=f(x)可能为()【解析】选D.由题意得,当x0;当x0时,函数y=f(x)先增再减然后再增,故导函数的符号为先正再负然后再正.结合所给选项可得D符合题
9、意.2.已知函数f(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=1e,对任意实数都有f(x)-f(x)0,设F(x)=f(x)ex,则不等式F(x)0,则有F(x) 0,即函数F(x)在R上为减函数,又由f(1)=1e,则F(1)=f(1)e=1e2,不等式F(x)1e2等价于F(x)1,则不等式的解集为(1,+).3.若f(x)=2x3-3x2-12x+3在区间m,m+4上是单调函数,则实数m的取值范围是_.【解析】因为f(x)=2x3-3x2-12x+3,所以f(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f(x)0,得x2;令f(x)0,得-1x0,则g(x)=lnx-1x2,当xe时,g(x)0,g(x)单调递增,当0xe时,g(x)0,g(x)单调递减,又x0,g(x)+,x+,g(x)0且g(x)0,因为g(e)=-
