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1、第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。（1）x(n)=Acos()（2）x(n)=（3）x(n)=Asin()解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos()，得出。因此是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=。 （2）对照复指数序列的一般公式x(n)=expn,得出。因此是无理数，所以不是周期序列。 （3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos()，又x(n)=Asin()Acos()Acos()，得出。因此是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和
2、h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。解 利用线性卷积公式y(n)=按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。(a) y(0)=x(O)h(0)=1 y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n2(b) x(n)=2(n)-(n-1) h(n)=-(n)+2(n-1)+ (n-2)y(n)=-2(n)+5(n-1)= (n-3)(c) y(n)= =u(n)2.3 计算线性线性卷积(1) y(n)=u(n)*u(n)(2) y(n)=u(n)*u(n)解：(1
3、) y(n)= =(n+1),n0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)= =,n0即y(n)=u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h(n)和h(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h(n)=(n)-(n-4), h(n)=au(n),|a|1,求系统的输出y(n).解 (n)=x(n)*h(n) =(n-k)-(n-k-4) =u(n)-u(n-4)y(n)=(n)*h(n) =u(n-k)-u(n-k-4) =,n32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=au(-n),0a1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。2
4、.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。证明 （1）交换律X(n) * y(n) = 令k=n-t,所以t=n-k,又-k,所以-t,因此线性卷积公式变成x(n) * y(n) =y(n) * x(n)交换律得证.(2)结合律x(n) * y(n) * z(n)= * z(n)=z(n-t)=x(k) y(t-k)z(n-t)=x(k) y(m)z(n-k-m)=x(k)y(n-k) * z(n-k)=x(n) * y(n) * z(n)结合律得证. (3)加法分配律 x(n) * y(n) + z(n)= x(k)y(n - k) +z(n - k)=x(k)y(n-k)+ x(
5、k)z(n - k)=x(n) * y(n) + x(n) *z(n)加法分配律得证.2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明(1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sinn+(3)y(n)= (4)y(n)= (5)y(n)= x(n)g(n)解 （1）设y(n)=2x(n)+3,y(n)=2x(n)+3,由于 y(n)=2x(n)+x(n)+3 y(n)+ y(n) =2x(n)+x(n)+6 故系统不是线性系统。 由于y(n-k)=2x(n-k)+3,Tx(n-k)=2x(n-k)+3,因而y(n-k) = Tx(n-k)故该系统
6、是非移变系统。设|x(n)|M，则有|y(n)|=|2x(n)+3|2M+3|故该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（2）设 y1(n)=ax1(n)sinn+ y2(n)=bx2(n)sinn+由于 y(n)=Tax1(n)+ bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)sinn+=ax1(n)sinn+bx2(n)sinn+=ay1(n)+by2(n)故该系统是线性系统。由于 y(n-k)=x(n-k)sin(n-k)+Tx(n-k)=x(n-k)sinn+因而有 Tx(n-k)y(n-k)帮该系统是移变系统。设 |x(n)|
7、M，则有|y(n)|=|x(n)sin(n-k)+|=|x(n)| sin(n-k)+|M|sin(n- k)+|M故系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（3）设 y1(n)= ，y2(n)=，由于y(n)=Tax1(n)+ bx2(n)= =a+ b=ay1(n)+by2(n)故该系统是线性系统。因 y(n-k)= = =Tx(n-t)所以该系统是非移变系统。设 x(n)=M y(n)= =，所以该系统是不稳定系统。因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。（4）设 y1(n)= ，y
8、2(n)=，由于y(n)=Tax1(n)+ bx2(n)= = a+b=ay1(n)+by2(n)故该系统是线性系统。因 y(n-k)= = Tx(n-t)= 所以该系统是移变系统。设x(n)=M,则y(n)= (n-n)M=,所以该系统不是稳定系统。显而易见，若nn。则该系统是因果系统；若nn。则该因果系统是非因果系统。(5)设y(n)=x(n)g(n),y(n)=x(n)g(n),由于 y(n)=Tax(n)+bx(n)=(ax(n)+bx(n)g(n) =ax(n)g(n)+b(n)=ay(n)+by(n)故系统是线性系统。因y(n-k)=x(n-k),而 Tx(n-k)=x(n-k)g
9、(n)y(n-k) 所以系统是移变系统。 设|x(n)|M,则有 |y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性（1）h(n)=2u(-n) (4) h(n)=()u(n) (2) h(n)=-au(-n-1) (5) h(n)=u(n) (3) h(n)=(n+n), n0 (6) h(n)= 2Ru(n)解 （1）因为在n0时，h(n)= 20,故该系统不是因果系统。 因为S=|h(n)|= |2|=1，故该系统是
10、稳定系统。(2) 因为在n1时才是稳定系统。(3) 因为在nO时，h(n) 0，故该系统不是因果系统。 因为S=|h(n)|= |(n+n)|=1，故该系统是稳定系统。(4) 因为在nO时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为S=|h(n)|= |()|，故该系统是稳定系统。(5) 因为在nO时，h(n)=u(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为S=|h(n)|= |u(n)|= =，故该系统不是稳定系统。(6) 因为在nO时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为S=|h(n)|= |2|=2-1，故该系统是稳定系统。2.9 已知y(n)-2cosy(n-1)+y(n-2)=0,
11、且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=证明 题给齐次差分方程的特征方程为-2cos+1=0由特征方程求得特征根=cos+jsin=e,=cos-jsin= e齐次差分方程的通解为y(n)=c+c=ce+ce代入初始条件得y(0)=c+c=0y(1)= ce+ce=1由上两式得到c=，c=- c=-将c和c代入通解公式，最后得到y(n) =ce+ce=( e+ e)=2.10 已知y(n)+2y(n-1)+(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n)解 首先由初始条件求出方程中得系数a和b由可求出a=-1,b=-8于是原方程为y(n)-2y(n-1
12、)-iy(n-2)=0由特征方程280求得特征根4 ，-2齐次差分方程得通解为y(n)=c+c= c4+c(-2)代入初始条件得y(n)= c+c= 4+2=3由上二式得到c，c将c和c代入通解公式，最后得到y(n)=c+c4-(-2) 2.11 用特征根法和递推法求解下列差分方程：y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1解 由特征方程10求得特征根，通解为y(n)=c+cc（）c（）代入初始条件得求出c=，c=最后得到通解y(n)= c()+ c()=()-()2.12 一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应解 由图可知y
13、(n)=x(n)+ y(n-1)为求单位取样响应，令x(n)=(n),于是有h(n)= (n)+ h(n-1)由此得到h(n)=u(n)阶跃响应为y(n)=h(n)*u(n)=y(k)u(n-k)=u(n)2.13 设序列x(n)的傅立叶变换为X(e),求下列各序列的傅立叶变换解 （1）Fax(n)+bx(n)=aX(e)+bX(e)(2)Fx(n-k)=eX(e)(3)Fex(n)=Xe(4)Fx(-n)=X(e)(5)Fx(n)=X(e)(6)Fx(-n)= X(e)(7)(8)jImx(n)=X(e)-X(e)(9)X(e)*X(e)(10)j2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述y(n)-y(n-1)=x(n)+ x(n-
