数值分析例题(精)上课讲义

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1、数值分析 第一章绪论与误差分析 1绪论 数值分析的研究内容 2误差的来源和分类 3误差的表示 4误差的传播 5算法设计的若干原则 三 有效数字 一个数的近似数往往是通过四舍五入的原则求得 例如 取以下近似数 可以发现每一个近似数的绝对误差限都不超过近似数末尾数位的半个单位 如果一个近似数满足这个条件 就把这个近似数从末尾到第一位非零数字之间的所有数字叫做有效数字 则分别得到这些近似数的绝对误差 结论 通过四舍五入原则求得的近似数 其有效数字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字 则称近似数x 具有n位有效数字 定义1 3设数x的近似值可以表示为 其中m是整数 i i 1 2 n 是0到9中的

2、一个数字 而 1 0 如果其绝对误差限为 例如近似数x 2 0004 其绝对误差限为 由科学计数法x 0 20004 101得到 故 该近似数有五位有效数字 是末尾数位的半个单位 即由四舍五入得来 小结 由科学计数法表示的数字 若其绝对误差限满足不等式 则有n位有效数字 例1 4下列近似数是通过四舍五入的方法得到的 试判定它们各有几位有效数字 解 我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数 也可以通过绝对误差限来判断 有5位有效数字 同理可以写出 可以得出x2 x3 x4各具有4 3 4位有效数字 x1 87540 x2 8754 10 x3 0 00345 x4 0 3450 10 2 已知

3、 例1 4已知e 2 718281828 试判断下面两个近似数各有几位有效数字 解 由于 而 所以 e1有7位有效数字 同理 e2只有6位有效数字 三 绝对误差 相对误差 有效数字的关系 2 绝对误差与有效数字的关系 得到 1 绝对误差与相对误差的关系 可以知道 有效数字位数越多 绝对误差限越小 由关系式 3 相对误差与有效数字的关系 由近似数 得到相对误差限 可以看出 有效数字位数越多 相对误差限越小 及 解 由于 则近似值x 可写为 例1 5为了使的近似值的相对误差小于10 3 问应取几位有效数字 根据 只要 即可 解得 n 4 故只要取n 4 就可满足要求 即应取4位有效数字 准确数为

4、此时x 4 472 练习1 1 判断下列近似数个有几位有效数字 用绝对误差限表示 注意 精确值的有效数字可以认为有无限多位 如 x1 24 67 x2 3850 103 x3 0 6742 10 2 x4 0 000374 x5 0 8400 习题一 1 1下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 试分别指出它们的绝对误差限 相对误差限和有效数字的位数 a 0 0315 b 0 3015 c 31 50 d 5000 1 2下列近似值的绝对误差限都是0 005 a 1 00031 b 0 042 c 0 00032试指出它们有几位有效数字 1 3为了使的近似值的相对误差小于0 01 试问应取几位有

5、效数字 1 4求方程x2 56x 1 0的两个根 使它们至少具有四位有效数字 1 6设 假定g是精确的 而对时间t的测量有 0 1s的误差 证明 当t增大时 S的绝对误差增大而相对误差减小 1 5若取及初始值y0 28 按递推公式 计算y100 试估计y100有多大误差 第二章代数插值 1多项式插值问题 2Lagrange插值多项式 3差商及Newton插值多项式 4分段插值多项式 5三次样条 Spline 插值多项式 一 线性插值 n 1 求解L1 x a1x a0 使得f x L1 x x x0 x1 根据点斜式得到 如果令 则称l0 x l1 x 为一次插值多项式的基函数 这时 并称其为

6、一次Lagrange插值多项式 f x L1 x y0l0 x y1l1 x 二 抛物线插值 n 2 求解L2 x a2x2 a1x a0 使得f x L2 x x x0 x2 关于二次多项式的构造采用如下方法 令 并由插值条件 得到 L2 x A x x1 x x2 B x x0 x x2 C x x0 x x1 L2 x0 y0 L2 x1 y1 L2 x2 y2 于是得到 则有 f x L2 x y0l0 x y1l1 x y2l2 x 如果令 并称其为二次Lagrange插值多项式 紧凑格式 则称l0 x l1 x l x 为二次插值多项式的基函数 这时 这样 就得到二次拉格朗日插值多

7、项式的三种表示形式 紧凑格式 这样就得到在区间 a b 上关于f x 的近似计算式 基函数表示 3 x 表示式 下面给出n次拉格朗日插值多项式的构造 三 n次Lagrange插值多项式 已知n 1组离散数据 按照二次Lagrange插值多项式的构造方法 令 将插值条件Ln x0 y0代入 得到 同理 由插值条件Ln x1 y1 得到 对于误差估计式 当n 1时 于是 得到如下Lagrange插值多项式及其误差估计 这里f x Ln x Rn x 当f x Ln x 时 误差为Rn x 例2已知 分别用线性插值和二次插值计算sin0 3367 解 设 1 取x0 x1作线性插值 于是 关于误差

8、由 得到 2 取x0 x1 x2作二次插值 得到 关于误差 由 得到 本节 2 要点 掌握Lagrange插值多项式的构造方法及具体结构掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和结果3 编写Lagrange插值多项式计算程序进行实际计算 练习 已知函数y f x 的如下离散数据 1 试用线性插值求函数在x 1 5处的近似值 2 试用二次插值求函数在x 1 5处的近似值 这个表达式给出了n 1阶差商与n 1阶导数之间的关系式 解 由差商与导数的关系式 得到 2 Newton插值多项式具有递推式 由 例4已知f x 的五组数据 1 0 2 2 3 12 4 42 5 116 求N4 x 如果再增

9、加一个节点 6 282 求出N5 x 并计算N4 1 5 N5 1 5 解 先由前五组数据列差商表 10223124425116 2103074 41022 24 0 5 得到 如果 再增加一点 6 282 就在上表中增加一行计算差商 6282 166 46 8 1 0 1 由Newton公式的递推式得到 得到 练习题 已知离散数据 1 0 2 2 4 12 5 20 求三次Newton插值多项式 增加一点 6 70 后 再求出四次Newton插值多项式 关于离散数据 构造了lagrange插值多项式 Newton插值多项式 根据问题需要 有时还需要构造分段插值多项式 下面加以介绍 4 2分段

10、线性插值 为了提高近似程度 可以考虑用分段线性插值来逼近原函数 设y f x 在节点a x0 x1 xn b处的函数值为yi f xi i 0 1 2 n 这时的插值函数为分段函数 在区间上的线性函数为 误差为 则有 令 可以按如下的方式考虑 关于整体误差 于是 当h 0时 分段线性插值S x 收敛于f x 值得注意的是 分段线性插值虽然有很好的收敛性质 但却不是光滑的 也就是说 S x 的导数不一定存在 若记则对任一x a b 都有 下面我们就考虑在节点处可导的插值多项式的构造 4 3分段Hermite插值 分段线性插值多项式S x 在插值区间 a b 上只能保证连续性 而不光滑 要想得到在

11、插值区间上光滑的分段插值多项式 可采用分段Hermite插值 如果已知函数y f x 在节点a x0 x1 xn b处的函数值和导数值 则在小区间 xi 1 xi 上有四个插值条件 故能构造一个三次多项式Hi x 并称其为三次埃尔米特 Hermite 插值多项式 yk f xk yk f xk k 0 1 n yi 1 f xi 1 yi f xi y i 1 f xi 1 yi f xi 代入下式 得到 这样 便求出了分段三次Hermite插值多项式 关于误差 若f x 在 a b 具有4阶连续导数 可推得 其中 如果记 则有 即 关于整体误差 若f x C4 a b 则可按如下方式考虑 记

12、 则有 于是 当h 0时 R x 0 说明分段三次Hermite插值H x 收敛于f x 本节 4 问题 2 分段线性插值有何优缺点 如何估计误差 4 如何分段线性插值算法的程序设计 1 何为高次插值的Runge现象 应如何避免 3 分段三次Hermite插值有何优缺点 如何估计误差 5 如何构造满足以下条件的插值多项式并估计误差 2 三次样条函数的定义 已知函数y f x 在节点a x0 x1 xn b处的函数值为 如果函数S x 满足条件 2 S x 在子区间 xi 1 xi 上是不超过三次的多项式 则称S x 是三次样条插值函数 3 S x 在 a b 具有二阶连续导数 yk f xk

13、k 0 1 2 n 1 S xk yk k 0 1 2 n 常用的边界条件有以下几种 边界条件1m 边界条件2M 边界条件3 假定函数y f x 是以b a为周期的周期函数 这时要求S x 也是周期函数 即 这样我们便可以具体求出样条函数来 令 于是 得到 这样 我们只需要求出m0 m1 mn即可 边界条件1 这时方程 改写为 或者 表示为矩阵方程 2 4 由于 k k 1 方程 2 4 的系数矩阵是严格对角占优矩阵 方程 2 4 有惟一解 并可用追赶法求解 便得到三次样条函数 解出m0 m1 mn以后 代入下式 也就是 边界条件2 已知 故可以得到 将 与前面得到的方程组 结合 可以给出求解

14、m0 m1 mn的方程组 求解此方程组 也可以求出三次样条函数 2 5 或者表示为矩阵方程 由第一个等式和第二个等式得到y0 yn m0 mn 边界条件3 周期边界条件 由第三个等式说明 令 得到 结合得到 与 将 表示为矩阵方程 2 6 其系数矩阵称作周期三对角矩阵 也是严格对角占优 因而方程组有唯一解 三次样条函数三转角算法的实现流程 Step1 输入节点x0 x1 xn 函数值y0 y1 yn 边界条件及x Step3 根据边界条件 求解相应的方程组得到m0 m1 mn Step2 计算 Step4 判断x xi 1 xi Step5 计算y si x Step6 输出y 例4已知函数y

15、 f x 的如下数据 试求其在区间 0 3 上的三次样条插值函数S x 解这里边界条件是 设 求得 已知 由方程组 及 得到方程组 解得 这样便求得 代入表达式 便得到所求的三次样条函数 本节 5 1 2 要点 什么是三次样条函数 三次样条函数的边界条件是如何给出的 三次样条函数的三转角算法是如何构造的 如何设计程序实现三转角算法 画出流程图 三对角线性方程组和一般线性方程组如何求解 完成P49习题2 12 2 13 2 三弯矩算法 只要求出在区间 xi 1 xi 上的三次多项式Si x i 1 2 n 并满足前面四类条件即可 在这里我们采用另一种方法进行求解 并称为三弯矩算法 加边界条件构成

16、的三次样条函数为分段函数 a x0 x1 xn b yk f xk k 0 1 2 n 对于离散点及其上的函数值 方程组 2 6 的矩阵形式为 边界条件2 这说明 这时方程组 其中 边界条件1 矩阵形式为 边界条件3 由 得 矩阵形式为 针对三种边界条件求解相应的方程组 得到M0 M1 Mn后代入 就可以得到三次样条函数 并把以上算法称作三弯矩算法 例2 5求三次样条插值函数S x 满足自然边界条件 S x0 S xn 0 已知离散数据如下 解 已知M0 M4 0 先求出步长h1 0 05 h2 0 09 h3 0 06 h4 0 08 再计算 代入方程组 得到 解得M0 0 M1 1 8806 M2 0 8836 M3 1 0261 M4 0 代入 得到 5 3三次样条插值函数的误差估计 1 如果f x C a b 且划分的网格比 其中 一致有界 则当 时 S x 一致收敛于f x 2 如果f x C4 a b 且S x 满足边界条件I II 则 即h 0时 练习二 2 1当x 1 1 2时 f x 分别为0 3 4 求f x 的二次插值多项式p2 x 2 2设li x 是以xk x