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1、2012北大自主招生数学试题(理科)1.求的取值范围,使得是增函数.2.求的实数根的个数.3.已知的个根组成首项为的等差数列,求.4.已知锐角的外接圆的圆心为,求到三角形三边的距离之比.5.已知点,若点是圆上的动点,求面积的最小值.6.在中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数？7.设点A、B、C分别在边长为1的正三角形的三边上,求的最小值.8.若关于x的方程在有唯一解的,求实数a的范围.9.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.10.求证:对于任意的正整数,必可以表示成的形式,其中.2012年清华等五校自主招生试题通用基础测试数 学一、选择题1.若为内部任一
2、点(不包括边界),且,则必为( )A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形2.圆锥的轴截面是边长为的等边三角形,为底面中心,为的中点,动点在圆锥底面内(包括圆周).若,则点形成的轨迹的长度为( )A. B. C. D.3.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数时按下这个按键,会等可能的将其替换为中的任意一个数.如果初始时显示,反复按这个按键使得最终显示,那么这个过程中,都出现的概率是( )A. B. C. D.4.已知,直线与的交点在直线上,则( )A. B. C. D.5.若正整数集合Ak的最小元素为1,最元素为2007,并且各元素可以从小到大排成
3、一个公差为k的等差数列,则并集中的元素个数为A.119 B.120 C.151 D.1546.三角式化简为A. B. C. D.7设k3,k0，则二次曲线与必有(A)不同的顶点；(B)不同的准线；(C)相同的焦点；(D)相同的离心率8.若P为椭圆l在第一象限上的动点，过点P引圆x2y2=9的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则S的最小值为( ) (A); (B)；(C); (D) 9. 设x1、x2是实系数一元二次方程ax2bxc=0的根，若x1是虚数，是实数,则的值为 A.0 B.1003 C.1004 D.100410.函数f:RR，对任意的实数x
4、、y，只要x+y0，就有f(xy)=成立,则函数f(x)(xR)的奇偶性为 (A)一定是奇函数； (B)一定是偶函数; (C)既是奇函数，又是偶函数； (D)既不是奇函数，又不是偶函数二、解答题11. 系统内有2k1(kN+)个元件，每个元件正常工作的概率为p(0p0,b0，c0，且a+b+c=1，则的最大值为( ) (A) (B) (C) (D) 3已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线左支上的任意一点, 若的最小值为8a, 则双曲线的离心率的取值范围为( ) (A)(l，+); (B)(0,3； (C)(1,2； (D)(1,3 4如果关于x的方程2x2+3ax+a2a0至少有
5、一个根等于l的根，那么实数a的值( )(A)不存在；(B)有一个；(C)有三个；(D)有四个5.5个顶点不共面的五边形叫空间五边形,空间五边形的5条边所在直线中,互相垂直的直线对至多有( )(A)5对; (B)6对; (C)7对; (D)8对.6已知定义在实数集R上的函数f(x),其值域也是R,井且时任意x、yR都有fxf(y)=xy,则|f(2007)等于( ) (A)0; (B)1; (C)20072; (D)20077若k是正位数,且能被2k整除,则k的最大值为( )(A)2004; (B)2005; (C)2006; (D)2008.8.已知非零向量与满足,且则为( )(A)三边均为不
6、相等的三角形; (B)直角三角形; (C)等腰非等边三角形; (D)等边三角形.9.关于x、y、z的方程组的实数解的组数有( )(A)有一组解； (B)有两组解; (C)有无穷多组解； (D)无法确定10在欧非杯排球赛中，欧洲的参赛队伍比非洲的参赛队伍多9支,每两支球队赛一场，胜者得1分，败者得0分,若欧洲球队所得总分为非洲球队所得总分的9倍，则非洲球队的各支球队中得分的最大可能值是( ) (A)8; (B)9; (C)10; (D)11.二、解答题11.在m(m2)个不同数的排列P1 P2 Pm中, 若1ijm时PiPj(即前面某数大于后面某数)，则称Pi与Pj构成一个逆序一个排列的全部逆序
7、的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n1)321的逆序数为an,如排列21的逆序数a1=l，排列4321的逆序数a3=6. (1)求a4、a5，并写出an的表达式； (2)令bn=,求证：2n 2n+3,n=1,2，12.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 已知sinAsinC=msinB(mR)，且4(AC)+4cosB+cos2B=1.(1)求证：b2=4ac;(2)当m=， b=1时,求a、c的值；(3)若角B为最大内角(即BA且BC)求实数m的取值范围.13已知a、b为实数，i为虚数单位且关于z的二次方程4z2+(2a+i)z8b(9a+4)2(a+2b)i=0至少
8、有一个实根求这个实根的最大值14.双曲线C的渐近线方程为x2y=0,点A(5,0)到双曲线C上动点P的距离的最小值为.(1)求双曲线方程；(2)若过点B(1,0)的直线l交双曲线C上支一点M，下支一点N，且4=5,求直线l的方程15由抛物线x=y22与点(3,1)处的法线及x轴、y轴所围成一个平面图形(1)求此平面图形的面积；(2)求该平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积2013年“北约”自主招生试题一、以和1为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？二、在66的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有多少种停放方法？三、已知x2=2y+5
9、,y2=2x+5，求x32x2y2+y2的值。四、如图，ABC中，AD为BC边上中线，DM、DN分别为ADB、的角平分线，试比较BM+CN与MN的大小关系，并说明理由。五、数列an满足a1=1，前n项和为Sn,Sn+1=4an2，求a2013.六、模长为1的复数、B、C，满足A+B+C0，求的模长。七、最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数。2013“华约”自主招生试题2013-03-16（时间90分钟，满分100分）1.（10分）集合，为的子集，若集合中元素满足以下条件：任意数字都不相等；任意两个数之和不为9（1）中两位数有多少？三位数有多少？（2）中是否有五位数？六位数？（3）若将集合的元素按从小到大的顺序排列，第个数为多少？2.（15分），求与的值3.直线与上两点、，（1）求中点的轨迹；（2）若曲线与相切于两点，求证两个切点在定直线上，并求过两切点的切线方程。4. （15分）7个红球，8个黑球，从中任取4个球（1）求取出的球中恰有1个是红球的概率（2）求所取出球中黑球个数的分布列及期望（3）若所取出的4个球颜色相同，求恰好全黑的概率5. （15分），求证（1）对，总存在正整数，
