《数学模型第四版11.5效益的合理分配》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学模型第四版11.5效益的合理分配（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.5效益的合理分配在经济或社会活动中若干实体（如个人、公司、党派、国家等）相互合作结成联盟或集团，常能比他们单独行动获得更多的经济或社会效益。确定合理地分配这些效益的方案是促成合作的前提。先看一个简单例子。甲乙丙三人经商。若单干，每人仅能获利1元；甲乙合作可获利7元；甲丙合作可获利5元；乙丙合作可获利4元；三人合作则可获利11元。问三人合作是怎样合理地分配11元的收入。人们自然会想到的一种分配方法是：设甲乙丙三人各得元，满足 （1）， （2）（2）式表示这种分配必须不小于单干或二人合作时的收入，但是容易看出（1），（2）有许多组解，如（）=(5，3，3)，(4，4，3)，(4，3.5，3.
2、5)等。于是应该寻求一种圆满的分配方法。上例提出的这类问题称为n人合作对策（Cooperative n-person Game）。L.S.Shapley1953年给出了解决该问题的一种方法，称Shapley值。n人合作对策和Shapley值 n个人从事某项经济活动，对于他们之中若干人组合的每一种合作（特别，单人也视为一种合作）。都会得到一定的效益，当人们之间的利益是非对抗性时，合作中人数的增加不会引起效益的减少。这样，全体n个人的合作将带来最大效益。n个人的集合及各种合作的效益就构成n人合作对策，Shapley值是分配这个最大效益的一种方案。正式的定义如下。设集合，如果对于I的任一子集s都对应
3、一个实值函数，满足 （3） （4）称 I,v为n人合作对策，v为对策的特征函数。在上面所述经济活动中，I定义为n人集合，s为n人集合中的人一种合作，为合作s的效益。用表示I的成员i从合作的最大效益中应得到的一份收入。叫做合作对策的分配（Imputation），满足 （5） （6）请读者解释（6）式的含义。显然，（3），（4）定义的n人合作对策 I,v通常有无穷多个分配。Shapley值由特征函数v确定，记作。对于任意的子集s，记，即s中各成员的分配。对一切，满足的x组成的集合称 I,v的核心（Core）。当核心存在时，及所有s的分配都不小于s的效益，可以将Shapley值作为一种特定的分配，即
4、。Shapley首先提出看来毫无疑义的几条公理，然后用逻辑推理的方法证明，存在唯一的满足这些公理的分配，并把它构造出来，这里只给出的结果，Shapley公理可参看11,83。Shapley值为 （7） （8）其中是I中包含i的所有子集，是子集s中的元素数目（人数），是加权因子，表示s去掉i后的集合。我们用这组公式计算本节开始给出的三人经商问题的分配，一次解释公式的用法和意义。甲乙丙三人记为I=1,2,3，经商获利定义为I上的特征函数，即。容易验证v满足（3），（4）。为计算首先找出I中包含1的所有子集：1，1,2，1,3，I，然后令s跑遍，将计算结果计入表1.然后将表中末行相加得。同法可计算出
5、。它们可作为按照Shapley值方法计算的甲乙丙三人应得的分配。让我们通过此例对（7）式做些解释。对表1中的s，比如1,2，是有甲（即1）参加时合作s的获利，是无甲参加合作s（只剩下乙）的获利，所以可视为甲对这一合作的“贡献”。用Shapley值计算的甲的分配是，甲对他所参加的所有合作（）的贡献的加权平均值，加权因子取决于这个合作s的人数。通俗地说就是按照贡献取得报酬。表1 三人经商中甲的分配的计算Shapley值方法可以有效地处理经济和社会合作活动中的利益分配问题。请看下面的例子。污水处理费用的合理分担 沿河有三城镇1,2和3，地理位置如图1所示。污水需处理后才能排入河中。三城镇既可以单独建
6、立污水处理厂，也可以联合建厂，用管道将污水集中处理（污水应由河流的上游城镇向下游城镇输送）。用Q表示污水量（单位：t/s），L表示管道长度（单位：km），按照经验公式已知三城镇污水量为，L的数值如图1所示。试从节约总投资的角度为三城镇制定污水处理方案。如果联合建厂，各城镇如何分担费用。三城镇污水处理共有以下5种方案，计算出投资费用以作比较。1） 分别建厂。投资分别为，总投资2)1,2合作，在城2建厂，投资为，总投资3）2,3合作，在城3建厂，投资为，总投资4）1,3合作，在城3建厂，投资为，这个费用超过了1,3分别建厂的费用，合作没有效益，不可能实现。5）三城合作，在城3建厂，总投资为。比较结
7、果以千元最小，所以应选择联合建厂方案。下面的问题是如何分担费用。总费用中有3部分：联合建厂费；城1至2的管道费；城2至3的管道费。城3提出，由三城按污水量比例5:3:5分担，是为城1,2铺设的管道费，应由他们担负；城2同意，并提出由城1,2按污水量之比5:3分担，则应由城1自己担负；城1提不出反对意见，但他们计算了一下按上述办法各城应分担的费用：城3分担费用为； 城2分担费用为； 城1分担费用为；结果表明城2,3分担的费用均比他们单独建厂费用C（2），C（3）小，而城1 分担的费用却比C（1）大。显然，城1不能同意这种分担总费用的方法。为了促成三城联合建厂以节约总投资，应该寻求合理分担总费用的
8、方案。三城的合作节约了投资，产生了效益，是一个n人合作对策问题，可以用Shapley值方法圆满地分配这个效益。把分担费用转换为分配效益，就不会出现城1联合建厂分担的总费用反比单独建厂费用高的情况。将三城镇记为，联合建厂比单独建厂节约的投资定义为特征函数。于是有 三城联合建厂的效益为64千元，用Shapley值作为这个效益的分配，城1应分得的份额的计算结果列入表2，得到。类似地算出，。可以验证。看来。城2从总效益64千元中分配的份额最大，你能从城2的地理位置与合作对策的角度解释这个结果吗。表2 污水处理问题中的计算最后，在联合建厂方案总投资额556千元中各城的分担费用为：城1是；城2是；城3是。
9、Shapley值方法的缺点及其他解决办法 Shapley值方法以严格的公理为基础，在处理合作对策的分配问题时具有公正、合理等优点，但是它需要知道所有合作的获利，即要定义的所有子集（共个）的特征函数，这在实际上常常做不到，如n个单位合作治理污染，第i方单独治理的投资和n方合作治理的投资Y通常是已知的。为了度量第i方在合作中的“贡献”，还通常设法知道第i方不参加合作时其余n-1方所需的投资。特征函数应定义为合作的获利，即节约的投资，有 ，显然除此之外还有许多不知道，无法利用Shapley值方法求解。下面仍以本节开始提出的三人经商问题为例，介绍几种其他解决办法。我们只知道全体合作的获利，记作，及无i
10、参加时其余n-1方合作的获利，记作，且记。试确定各方对全体合作获利的分配，记作。在三人经商问题中。1. 协商解分配按以下两步进行，先从n个n-1方合作的获利得出各方分配的下限，即求解 （9）得到 ， （10）再计算按下限分配后集体合作获利的剩余为，它通常是较小的部分，经协商将其平均分配，于是最终的分配结果为 （11）剩余，它等价于，请读者考察这个假定的含义。对三人江上问题，。2. 均衡解设各方能够接受的现状点为，可看做谈判时的威慑点，在此基础上均衡的分配全体合作的获利B。根据n个数的和一定，当他们相等时乘积最大的原理，该模型为 （12）得到 （13）时，相当于各方平均分配B；时，均衡解等价于协
11、商解。3. 最小距离解设存在一个各方理想的分配上限，记作，追求分配结果与这个上限的距离最小，模型为 （14） 得到 （15） i方的理想上限若取为,看作i方对全体合作的“贡献”或i方的边际效益，将其代入（15）式可得，与（11）式相同，及最小距离解等价于协商解，对三人经商问题，。4. 满意解i方分配的满意度定义为，其中是现状点，是理想点。为追求各方的满意度都高，用最小最大模型 （16）得到 （17）可以验证，当时，满意解等价于协商解，当时，即按照各方理想上限的比例进行分配。5. Raiffa解Howard Raiffa提出的解决办法按以下步骤进行：1）按照n个n-1方合作的获利得到各方分配的下
12、限，即协商解中（见（10）式），作为分配的基础；2）当j方加入（原来无j的）n-1方合作时计算获利的增加，即j方的边际效益，是最小距离解中的上限；3）按两部分配：先由j方和无j的n-1方平分，然后n-1方再等分，即 （18）其中n-1方是在的基础上分配；4）j取1,2，n，重复第3步，然后求和、平均，得到最终分配为 （19）将，代入，（19）式又可表为 ， （20）对三人经商问题，。几种方法的比较 上面介绍的方法中，协商解、均衡解、最小距离解和满意解比较简单、容易理解，并且在许多情况下是等价的，不妨并为一类，这样，连同Shapley值方法我们讨论了3类方法：Shapley值方法；协商解等；Raiffa解。下面结合一个较为极端的例子说明它们的特点。例 有一资方（甲）和二资方（乙、丙），当且仅当资方与至少一劳防合作时才获利10元，应如何分配该获利？解 甲、乙、丙三方记作1,2,3，1）Shapley值方法 特征函数定义为获利，则子集1,2，1,3，1,2,3的特征函数为10，其余均为0，容易算出Shapley值，将其作为一种分配，即得。2）协商解等 由得到=，于是。3）Raiffa解 将=代入（19）式，即得。3种方法得到的结果不同，协商解等显然对劳防不公平，）Raiffa解在一定程度上照顾了劳方的利益。一般地，这
