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1、22 3一元二次方程的应用 第二课时 面积问题 要设计一本书的封面 封面长27 宽21 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一 上 下边衬等宽 左 右边衬等宽 应如何设计四周边衬的宽度 分析 这本书的长宽之比是9 7 正中央的矩形两边之比也为9 7 由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9 7 解法二 设上下边衬的宽为9xcm 左右边衬宽为7xcm依题意得 解方程得 故上下边衬的宽度为 1 8CM左右边衬的宽度为 1 4CM 例1 如图甲 有一张长40cm 宽25cm的长方形硬纸片 裁去角上四个小正方形之后 折成如图乙所示的无盖纸盒 若纸盒的
2、底面积是450cm2 那么纸盒的高是多少 解 设高为xcm 可列方程为 40 2x 25 2x 450 解得x1 5 x2 27 5 经检验 x 27 5不符合实际 舍去 答 纸盒的高为5cm 在长方形钢片上冲去一个长方形 制成一个四周宽相等的长方形框 已知长方形钢片的长为30cm 宽为20cm 要使制成的长方形框的面积为400cm2 求这个长方形框的边宽 解 设长方形框的边宽为xcm 依题意 得 30 20 30 2x 20 2x 400 整理得x2 25x 100 0 得x1 20 x2 5 当x 20时 20 2x 20 舍去 当x 5时 20 2x 10 答 这个长方形框的边宽为5cm
3、 变式 分析 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 取一张长与宽之比为5 2的长方形纸板 剪去四个边长为5cm的小正方形 并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒 要使包装盒的容积为200cm3 纸板的厚度略去不计 问这张长方形纸板的长与宽分别为多少cm 试一试 设长为5x 宽为2x 得 5 5x 10 2x 10 200 例2 某中学为美化校园 准备在长32m 宽20m的长方形场地上 修筑若干条笔直等宽道路 余下部分作草坪 下面请同学们共同参与图纸设计 要求草坪面积为540m2 求出设计方案中道路的宽分别为多少米 答 道路宽为1米 1 若设计方案图纸为如图 草坪总面积540m2 长方
4、形面积 长 宽 解 设道路宽为m 则草坪的长为m 宽为m 由题意得 解得 不合题意舍去 分析 利用 图形经过平移 它的面积大小不会改变的道理 把纵横两条路平移一下 2 设计方案图纸为如图 草坪总面积540m2 答 道路宽为2米 32 20 解 设道路的宽为米 根据题意得 化简 得 解得1 2 2 50 不合题意舍去 3 设计方案图纸为如图 草坪总面积540m2 32 20 解 设道路宽为m 则草坪的长为m 宽为m 由题意得 谢谢大家 探究4 一辆汽车以的速度行驶 司机发现前方有情况 紧急刹车后又滑行了后停车 1 从刹车到停车用了多次时间 2 从刹车到停车平均每秒车速减少多少 3 刹车后汽车滑行
5、到15米时约用了多少时间 精确到0 1S 分析 汽车滑行到停止的过程可视为匀减速直线运动 受摩擦力的影响 如图4所示 在 ABC中 C 90 AC 6cm BC 8cm 点P从点A出发沿边AC向点C以1cm s的速度移动 点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm s的速度移动 1 如果P Q同时出发 几秒钟后 可使 PCQ的面积为8平方厘米 2 点P Q在移动过程中 是否存在某一时刻 使得 PCQ的面积等于 ABC的面积的一半 若存在 求出运动的时间 若不存在 说明理由 图4 探究5 解因为 C 90 所以AB 10 cm 1 设xs后 可使 PCQ的面积为8cm2 所以AP xcm PC 6 x
6、 cm CQ 2xcm 根据题意 6 x 2x 8 整理 得x2 6x 8 0 解这个方程 得x1 2 x2 4 所以P Q同时出发 2s或4s后可使 PCQ的面积为8cm2 2 设点P出发x秒后 PCQ的面积等于 ABC面积的一半 探究6 读诗词解题 通过列方程式 算出周瑜去世时的年龄 大江东去浪淘尽 千古风流数人物 而立之年督东吴 早逝英年两位数 十位恰小个位三 个位平方与寿符 哪位学子算得快 多少年华属周瑜 解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x 则十位数字为x 3 则根据题意 得x2 10 x 3 x 即x2 11x 30 0 解这个方程 得x 5或x 6 当x 5时 周瑜的年龄25岁 非
7、而立之年 不合题意 舍去 当x 6时 周瑜年龄为36岁 完全符合题意 答周瑜去世的年龄为36岁 探究7一个长为10m的梯子斜靠在墙上 梯子的底端距墙角6m 1 若梯子的顶端下滑1m 求梯子的底端水平滑动多少米 2 若梯子的底端水平向外滑动1m 梯子的顶端滑动多少米 3 如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离 那么滑动的距离是多少米 解依题意 梯子的顶端距墙角 8 m 1 若梯子顶端下滑1m 则顶端距地面7m 设梯子底端滑动xm 则根据勾股定理 列方程72 6 x 2 102 整理 得x2 12x 15 0 解这个方程 得x1 1 14 x2 13 14 舍去 所以梯子顶端下滑1m 底
8、端水平滑动约1 14m 2 当梯子底端水平向外滑动1m时 设梯子顶端向下滑动xm 则根据勾股定理 列方程 8 x 2 6 1 2 100 整理 得x2 16x 13 0 解这个方程 得x1 0 86 x2 15 14 舍去 所以若梯子底端水平向外滑动1m 则顶端下滑约0 86m 3 设梯子顶端向下滑动xm时 底端向外也滑动xm 则根据勾股定理 列方程 8 x 2 6 x 2 102 整理 得2x2 4x 0 解这个方程 得x1 0 舍去 x2 2 所以梯子顶端向下滑动2m时 底端向外也滑动2m 说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动 梯子始终与墙上 地面构成直角三角形 如图 已知A B C
9、D为矩形的四个顶点 AB 16 AD 6 动点P Q分别从点A C同时出发 点P以3 s的速度向点B移动 一直到点B为止 点Q以2 s的速度向点D移动 问 P Q两点从出发开始几秒时 四边形PBCQ的面积是33c 例 问 1 P Q两点从出发开始几秒时 四边形PBCQ的面积是33c 分析 四边形PBCQ的形状是梯形 上下底 高各是多少 如图 ABC中 B 90 点P从点A开始沿AB边向点B以1cm s的速度移动 点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm s的速度移动 1 如果点P Q分别从点A B同时出发 经过几秒钟 PBQ的面积等于8cm2 2 如果点P Q分别从点A B同时出发 并且点P到点B后又继续在BC边上前进 点Q到点C后又继续在CA边上前进 经过几秒钟 PCQ的面积等于12 6cm2 2 如图 在矩形ABCD中 AB 12cm BC 6cm 点P沿AB边从点A开始向点B以2cm s的速度移动 点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm s的速度移动 如果P Q同时出发 用t s 表示移动的时间 0 t 6 那么当t为何值时 QAP的面积等于8cm2
