《10.3平面基本性质（2020年整理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《10.3平面基本性质（2020年整理）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学 海 无 涯 本资料来源于 七彩教育网 本资料来源于 七彩教育网 10 310 3 平面的基本性质平面的基本性质 空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系 知识网络 1 平面的概念及平面的表示法 理解三个公理及三个推论的内容及作用 初步掌握性 质与推论的简单应用 2 空间两条直线的三种位置关系 并会判定 3 平行公理 等角定理及其推论 了解它们的作用 会用它们来证明简单的几何问题 掌握证明空间两直线平行及角相等的方法 4 异面直线所成角的定义 异面直线垂直的概念 会用图形来表示两条异面直线 掌 握异面直线所成角的范围 会求异面直线的所成角 典型例题 例 1 1 在空间四边形 ABCD 各边上
2、分别取 E F G H 四点 如果 EF GH 交于 点 P 那么 A ACP B BDP C ABP D CDP 答案 A 解析 PEF 面 ABC 又PGH 面 ACD 由公理 2 知 PAC 面 ABC 面 ACD 2 在正方体 AC1中 M 为 DD1的中点 O 为正方形 ABCD 的中心 P 为棱 A1B1上 的任意一点 则 OP 与 AM 所成角为 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 D 解析 取 AD 中点 Q 在正方形 ADD1A1中 A1Q AM 从而易证 AM 面 A1B1OQ 又 OP 面 A1B1OQ AM OP 3 异面直线ba 成80 角 P为ba 之外的
3、一个定点 若过P有且仅有两条直线与ba 所 成的角相等 都等于 则 A 400 B 5040 C 9040 D 9050 答案 B 解析 当040 时这样的直线不存在 当 40 时仅有一条 当 50 时有三条 当5090 时有四和 4 正方体的 12 条面对角线所在的直线中 互相异面的直线共有 对 答案 30 解析 面对角线中 与 AC 相交的有 5 条 平行的有 1 条 自身为 1 条 故 与 AC 异面的直线有 12 5 1 1 5 条 则共有 12 5 2 1 30 对 5 空间四边形 ABCD 中 AD BC 2 E F 分别是 AB CD 的中点 EF 3 则 AD BC 所成的角为
4、 答案 60 解析 异面直线所成角的范围 90 0 例 2 已知直线 a b c a A c b B 求证 a b c 在同一平面内 证明 a b 经过 a b 可确定一个平面 c a A A a 而 a A B C a b 学 海 无 涯 A 同理 B 则 AB 即 c a b c 在同一平面 内 例 3 分别和两条异面直线 AB CD 同时相交的两条直线 AC BD 一定是异面直线 为什 么 答案 假设 AC BD 不异面 则它们都在某个平面 内 则 A B C D 由公理 1 知AC BD 这与已知 AB 与 CD 异面矛盾 所以假设不成立 即 AC BD 一定是异面 直线 例4 如图所
5、示 已知lDCBAl ABCD为矩形 P PA AD 且PA AD M N 分别是AB PC的中点 求异面直线PA与MN所成角的大小 答案 解 如图 连结PD PA AD 且PA AD Rt PAD为等腰直角三角形 取PD的中点E 连结NE AE NE 2 1 DC又AM 2 1 DC NE AM 即四边形ENMA为平行四边形 AE MN 于是 PAE是异面直线PA与MN所成的角 PAD为等腰直角三角形 AE为斜边PD上的中线 PAE 45 即PA与MN所成角的大小为45 课内练习 1 下列推理中 错误的个数为 lBlBAlA ABBBAA AlAl CBACBA 且A B C不共线 与 重合
6、 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案 B 解析 正确 2 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是 A 平行 B 相交 C 异面 D 以上都有可能 答案 D 3 如图所示 长方体ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB 2 AD 1 点E F G分别是DD1 AB CC1的中点 则异 面直线A1E与GF所成的角是 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 D 解析 A1E B1G 易求 B1G F 90 4 判断下列命题的真假 1 如果平面 与平面 相交 那么它们只有有限个公共点 2 过一条直线的平面有无 数多个 3 两个平面的交线可能是一条线段 4 两个相交平面有不在同一条直线
7、上的三 个公共点 5 经过空间任意三点有且仅有一个平面 6 如果两个平面有三个不共线的公 共点 那么这两个平面就重合为一个平面 其中真命题序号是 把你认为正 确的命题序号都填上 B C A D M N P l B C A D M N P l E B C A D 1 A 1 B 1 C 1 D E F G 学 海 无 涯 答案 2 和 6 解析 2 和 6 为真命题 其余皆为假命题 5 如果把两条异面直线看成 一对 那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中 异面直线 共有 对 答案 24 对 解析 每条侧棱对应于底面的 4 条棱成异面直线 故有 6 4 24 对 6 在正方体 AC1中 表面的对角线
8、与 AD1成 60 角的有 条 答案 8 7 若角 与 的两边分别平行 则 70 时 答案 11070 或 解析 由等角定理及其推论知 8 空间四边形ABCD中 已知AD 1 BC 3 且AD BC 对角线BD 2 13 2 3 AC 求异面直线AC与BD所成的角 答案 解 如图分别取AB BD CD DA的中点E F G H 连结EF FG GH HE EF AD 2 1 FG BC 2 1 GH 2 1 ACHE BD 2 1 EFG为异面直线AD与BC所成的角 EFG 90 GHE为AC与BD所成角 EG 1 0 2 cos 222 HGEH EGHGEH GHE 异面直线 AC 与 B
9、D 所成的角为 90 9 在一块长方形木块的面上有一点 P 木匠师傅要用锯子 从 P 和 CD 将木块分成两块 问怎样画线 答案 过 P 作 C1D1的平行线 EF 连 DE CF 即可 10 已知 ABC三边所在直线分别与平面 交于P Q R三点 求证 P Q R三点共线 答案 A B C 是不在同一直线上的三点 过 A B C 有一个平面 又 ABPAB 且 P 既在 内又在 内 lPl 同理可证 Ql Rl P Q R三点共线 作业本 B C A D G F HE 学 海 无 涯 A 组组 1 若A表示点 a表示直线 表示平面 则下列各项中 表述错误的是 A a A a A B a A
10、a A C A A a A a D aAaA 答案 B 解析 由公理一知 2 两条直线异面是两条直线不平行的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 两条直线不平行包括平行与异面 3 异面直线ba 成60 角 直线ac 则直线b与c所成的角的范围是 A 30 90 B 30 60 C 60 90 D 30 120 答案 A 4 在正方体 ABCD A B C D 中 与棱 AA 异面的直线共有 条 答案 4 5 在空间四边形 ABCD 中 E H 分别为 AB AD 的中点 F BC G CD 且 CF CB CG CD 2 3 那么四边
11、形 EFGH 是 若 BD 6cm 四边形 EFGH 的面积为 28cm2 则 EH 与 FG 间的距离为 答案 梯形 8cm 解析 由已知 12 23 EHBD FGBDEHFG 但 EH FG 四 边形 EFGH 是梯形 由梯形面积公式知 34 28 8 2 hh 6 画出满足下列条件的图形 1 1 a b a b A 2 a b b a 答案 7 如图 在正方体 ABCD 1111 DCBA中 E F 分别是棱 11C D 11C B的中点 求证 EF BD 且BDEF 2 1 答案 连结 11D B 1 BB 1 DD 四边形DDBB 11 是平面图形 又 1 BB 1 DD 四边形D
12、DBB 11 是平行四边形 BD 11D B 在 111 BDC中 E F 分别是 11C D与 11C B的中点 EF 11 2 1 DB 学 海 无 涯 由公理 4 有 EF BD 且有BDEF 2 1 8 已知空间四边形ABCD中 各边长均为a 且对角线AD BC a 如图所示 E F分别为AD BC的中点 连结AF CE 求异面直线AF与CE所成的角 答案 解 连结FD 取FD的中点O 连结EO OC E O分别为AD FD的中点 EO AF 则 CEO或其补角即为所求的角 在 CEO中 CE aa a FOCFCOaAFEOa 4 7 4 3 2 4 3 2 1 2 3 2 2 22
13、 3 2 4 3 2 3 2 4 7 4 3 2 3 2 cos 222 222 aa aaa EOCE COEOCE CEO AF与CE所成角为 3 2 arccos B 组组 1 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 A 平行 B 异面 C 平行或异面 D 相交或异面 答案 D 2 空间四点A B C D共面但不共线 则下列结论中成立的是 A 四点中必有三点共线 B 四点中必有三点不共线 C AB BC CD DA四条直线中总有两条直线平行 D 直线AB与CD必相交 答案 B 解析 选项 B 是一个存在性命题 反设 四点中任意三点共线 则四点共 线与已知矛盾 3 由正方体的八个顶
14、点中的两个所确定的所有直线中 取出两条 这两条直线是异面 直线的概率为 A 29 189 B 29 63 C 34 63 D 4 7 答案 B 解析 由题意知直线只有 2 8 28C 条 其中是异面直线的共有 4 8 12 3174C 对 因为不共面四点构成三棱锥 其中有 3 对异面直线故所求概率为 2 28 17429 63 P C 4 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别为棱 AB BC 的中点 试判断截面 MNC1A1 的形状 答案 截面 MNC1A1是等腰梯形 解析 连接 AC 因为 M N 分别为棱 AB BC 的中点 B D E F A C 学 海 无 涯 A B
15、C D A1 B1 C1 D1 E F 所以 MN AC MN AC 又 111111 CAMNCAMNCAAC 且 11A MNC 是梯形 易证NCMACNCRtAMARt 1111 11A MNC 是等腰梯形 5 设a b c是空间的三条直线 下面给出四个命题 若ba cb 则ca 若a b是异面直线 b c是异面直线 则a c也是异面直线 若a和b相交 b和c相交 则a和c也相交 若a和b共面 b和c共面 则a和c也共面 其中真命题的个数是 个 答案 0 6 如图 O 是平面 ABC 外一点 1 A 1 B 1 C分别在线段 OA OB OC 上 且满足 OB OB OA OA 11 O
16、C OC OA OA 11 求证 ABC 111 CBA 答案 OB OB OA OA 11 OC OC OB OB 11 OC OC OA OA 11 在 AOB 中 由 OB OB OA OA 11 11B A AB 同理 11C B BC 111 CBA 与 ABC 方向相同 111 CBA ABC 同理 111 CAB BAC 111 CBA ABC 7 如图 在正方体 1111 DCBAABCD 中 E F 分别是 1 BB CD 的中点 证明FDAD 1 求AE与FD1所成的角 答案 1 证明 因为 AC1是正方体 所以 AD 面 DC1 又 DF1 DC1 所以 AD D1F 2 取 AB 中点 G 连结 A1G FG 因为 F 是 CD 的中点 所以 GF AD 又 A1D1 AD 所以 GF A1D1 故四边形 GFD1A1是平行四边形 A1G D1F 设 A1G 与 AE 相交于 H 则 A1HA 是 AE 与 D1F 所成的角 因为 E 是 BB1的中点 所以 Rt A1AG ABE GA1A GAH 从而 A1HA 90 即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角
