3.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用（2020年整理）

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1、学 海 无 涯 3 2 1 独立性检验的基本思想及其初步应用 教学目标教学目标 1 通过对典型案例的探究 了解独立性检验 只要求22 列联表 的基本思想 方 法及初步应用 2 经历由实际问题建立数学模型的过程 体会其基本方法 教学重点 教学重点 独立性检验的基本方法 教教学难点 学难点 基本思想的领会及方法应用 教学过程教学过程 一 问题情境 5 月 31 日是世界无烟日 有关医学研究表明 许多疾病 例如 心脏病 癌症 脑血 管病 慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关 吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手 这些 疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢 我们看一下问题 某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关

2、 进行了一次抽样调查 共调查了 9965 个人 其中吸烟者 2148 人 不吸烟者 7817 人 调查结果是 吸烟的 2148 人中有 49 人患肺癌 2099 人未患肺癌 不吸烟的 7817 人中有 42 人患肺癌 7775 人未患肺癌 问题 根据这些数据能否断定 患肺癌与吸烟有关 二 学生活动 1 引导学生将上述数据用下表 一 来表示 即列联表 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 7775 42 7817 吸烟 2099 49 2148 总计 9874 91 9965 2 估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异 在不吸烟者中 有 42 7817 0 54 的人患肺癌 在吸烟的人中 有 49 2

3、148 2 28 的人患肺癌 问题 由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关 把握有多大 三 建构数学 1 从问题 吸烟是否与患肺癌有关系 引出独立性检验的问题 借助样本数据的列联表 柱形图和条形图的展示 使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系 但这种结论能否推 广到总体呢 要回答这个问题 就必须借助于统计理论来分析 2 独立性检验 1 假设 0 H 患肺癌与吸烟没有关系 即 吸烟与患肺癌相互独立 用 A 表示不 吸烟 B 表示不患肺癌 则有 P AB P A P B 若将表中 观测值 用字母代替 则得下表 二 患肺癌 未患肺癌 合计 学 海 无 涯 吸烟 a b ba 不吸烟 c d dc 合计

4、 ca db dcba 学生活动 让学生利用上述字母来表示对应概率 并化简整理 思考交流 adbc 越小 说明患肺癌与吸烟之间的关系越 强 弱 2 构造随机变量 2 2 n adbc K ab cd ac bd 其中nabcd 由此若 0 H成立 即患肺癌与吸烟没有关系 则 K 2的值应该很小 把表中的数据代入计算得 K 2的观测值 k 约为 56 632 统计学中有明确的结论 在 0 H成立的情况下 随机事件 P K 2 6 635 0 01 由此 我们有 99 的把握认为 0 H不成立 即有 99 的把握认为 患肺癌 与吸烟有关系 上面这种利用随机变量 K 2来确定是否能以一定把握认为 两

5、个分类变量有关系 的方 法 称为两个分类变量的独立性检验 说明 估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异是用频率估计概率 利用 K 2进行独 立性检验 可以对推断的正确性的概率作出估计 观测数据 a b c d取值越大 效果越好 在实际应用中 当 a b c d均不小于 5 近似的效果才可接受 2 这里所说的 患肺癌与吸烟有关系 是一种统计关系 这种关系是指 抽烟的人患肺 癌的可能性 风险 更大 而不是说 抽烟的人一定患肺癌 3 在假设 0 H成立的情况下 统计量 K 2应该很小 如果由观测数据计算得到 K2的观测值 很大 则在一定程度上说明假设不合理 即统计量 K 2越大 两个分类变量有关系

6、的可 能性就越大 3 对于两个分类变量 A 和 B 推断 A 和 B 有关系 的方法和步骤为 利用三维柱形图和二维条形图 独立性检验的一般步骤 第一步 提出假设 0 H 两个分类变量 A 和 B 没有关系 第二步 根据 2 2 列联表和公式计算 K 2统计量 第三步 查对课本中临界值表 作出判断 4 独立性检验与反证法 反证法原理 在一个已知假设下 如果推出一个矛盾 就证明了这个假设不成立 独立性检验原理 在一个已知假设下 如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生 就 推断这个假设不成立 四 数学运用 例例 1 1 在某医院 因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中 有 214 人秃顶 而另外

7、772 名 不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 名秃顶 分别利用图形和独立性检验方法判 断秃顶与患心脏病是否有关系 你所得的结论在什么范围内有效 第一步 第一步 教师引导学生作出列联表 并分析列联表 引导学生得出 秃顶与患心脏病有 学 海 无 涯 关 的结论 第二步 第二步 教师演示三维柱形图和二维条形图 进一步向学生解释所得到的统计结果 第三步 第三步 由学生计算出 2 K的值 第四步 第四步 解释结果的含义 通过第 2 个问题 向学生强调 样本只能代表相应总体 这里的数据来自于医院的住院 病人 因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体 而把这个结论推广到其他群体 则可能会出

8、现错误 除非有其它的证据表明可以进行这种推广 变式练习 课本 P97 练习 板书设计 作业布置 课本 P97 习题 3 2 第 1 题 学 海 无 涯 3 3 2 1 2 1 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验的基本思想及其初步应用 课前预习课前预习 阅读教材 P91 P95 了解相关概念 如 分类变量 列联表 独立 性检验 学习目标学习目标 1 通过对典型案例的探究 了解独立性检验 只要求22 列联 表 的基本思想 方法及初步应用 2 经历由实际问题建立数学模型的过程 体会其基本方法 学习重点 学习重点 独立性检验的基本方法 学习难点 学习难点 基本思想的领会 学习过程学习过程 一

9、情境引入 5 月 31 日是世界无烟日 有关医学研究表明 许多疾病 例如 心脏病 癌症 脑血管病 慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关 吸烟已 成为继高血压之后的第二号全球杀手 这些疾病与吸烟有关的结论是 怎样得出的呢 我们看一下问题 某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关 进行了一次抽样调 查 共调查了 9965 个人 其中吸烟者 2148 人 不吸烟者 7817 人 调查结果是 吸烟的 2148 人中有 49 人患肺癌 2099 人未患肺癌 不吸烟的 7817 人中有 42 人患肺癌 7775 人未患肺癌 问题 根据这些数据能否断定 患肺癌与吸烟有关 二 学生活动 自主学习 1 将上述数据用下表 一

10、 来表示 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 吸烟 总计 2 估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异 在不吸烟者中患肺癌的人约占多大比例 学 海 无 涯 在吸烟的人中患肺癌的人约占多大比例 问题 由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关 把握有多大 合作探究 1 观察 分析样本数据的列联表和柱形图 条形图 你能得出什 么结论 2 该结论能否推广到总体呢 3 假设 0 H 患肺癌与吸烟没有关系 则两事件发生的概率有何 关系 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 a b a b 吸烟 c d c d 总计 a c b d a b c d 试用上表 二 中字母表示两概率及其关系 并化简该式 你能得到 何结论 4 构

11、造随机变量 2 2 n adbc K ab cd ac bd 其中nabcd 结合 3 中结论 若 0 H成立 则 K 2应该很 大 小 根据表 一 中的数据 利用 4 中公式 计算出 K 2的观测值 该值 说明什么 统计学中有明确的结论 在统计学中有明确的结论 在 0 H成立的情况下 成立的情况下 P K2 6 635 0 01 5 结合表 二 和三维柱形图 二维条形图如何判断两个分类变 量是否有关系 利用独立性检验呢 二者谁更精确 当堂检测 在某医院 因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中 有 214 人 秃顶 而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 名 秃顶

12、分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有 关系 学校 二中学校 二中 学科 数学学科 数学 编写人 编写人 游恒涛游恒涛 审稿人审稿人 马英济马英济 3 2 2 独立性检验的基本思想及其初步应用 教学目标教学目标 学 海 无 涯 通过对典型案例的探究 进一步巩固独立性检验的基本思想 方法 并能运用 K2进行 独立性检验 教学重点 教学重点 独立性检验的基本方法 教学难点 教学难点 基本思想的领会及方法应用 教学过程教学过程 一 学生活动 练习 1 某大学在研究性别与职称 分正教授 副教授 之间是否有关系 你认为应该收集哪 些数据 女教授人数 男教授人数 女副教授人数 男副教授人数

13、2 某高校 统计初步 课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况 具体数据如下 表 为了判断主修统计专业是否 与性别有关系 根据表中的 数据 得到 K2 2 50 13 20 10 7 4 844 23 27 20 30 K23 841 所以判定主修统计专业与性别有关系 那么这种判断出错的可能性为 答案 5 附 临界值表 部分 P K 2 k 0 0 10 0 05 0 025 0 010 k0 2 706 3 841 5 024 6 635 二 数学运用 例例 1 1 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系 在某城市的某校高中生中随机 抽取 300 名学生 得到如下列联表 喜欢数学课程

14、 不喜欢数学课程 总 计 男 37 85 122 女 35 143 178 总 计 72 228 300 由表中数据计算得到 2 K的观察值4 514k 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否 数学课程之间有关系 为什么 学生自练 教师总结 学生自练 教师总结 强调 强调 使得 2 3 841 0 05P K 成立的前提是假设 性别与是否喜欢数学课程之间没有 关系 如果这个前提不成立 上面的概率估计式就不一定正确 结论有 95 的把握认为 性别与喜欢数学课程之间有关系 的含义 在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后 可直接计算 2 K的值解决实际问题 而没有必要画相应的图形 但是图形的直

15、观性也不可忽视 例 2 为研究不同的给药方式 口服或注射 和药的效果 有效与无效 是否有关 进行了 相应的抽样调查 调查结果如表所示 根据所选择的 193 个病人的数据 能否作出药的效果 与给药方式有关的结论 专业 性别 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 学 海 无 涯 有效 无效 合计 口服 58 40 98 注射 64 31 95 合计 122 71 193 分析 在口服的病人中 有 58 59 98 的人有效 在注射的病人中 有 64 67 95 的人有效 从直观上来看 口服与注射的病人的用药效果的有效率有一定的差异 能否认为用药效果与 用药方式一定有关呢 下面用独立性

16、检验的方法加以说明 说明 如果观测值 K 2 2 706 那么就认为没有充分的证据显示 A 与 B 有关 系 但也不能作出结论 0 H成立 即 A 与 B 没有关系 小结 小结 独立性检验的方法 原理 步骤 三 巩固练习 三 巩固练习 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响 随机进行调查并得到如下的列联 表 请问有多大把握认为 高中生学习状况与生理健康有关 不健康 健 康 总计 不优秀 41 626 667 优 秀 37 296 333 总 计 78 922 1000 学 海 无 涯 3 2 2 独立性检验的基本思想及其初步应用 学习目标学习目标 通过对典型案例的探究 进一步巩固独立性检验的基本思想 方法 并能运用 K 2 进行 独立性检验 学习重点 学习重点 独立性检验的应用 学习过程学习过程 一 前置测评 1 某大学在研究性别与职称 分正教授 副教授 之间是否有关系 你认为应该收集哪 些数据 2 某高校 统计初步 课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况 具体数据如 下表 为了判断主修统计专业是否 与性别有关系 根据表中的 数据 得到 K 2 2 50 13 20 10