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1、第七节二次函数的综合应用姓名：_班级：_用时：_分钟1(2018衡阳中考)如图，已知直线y2x4分别交x轴、y轴于点A，B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PCx轴于点C，交抛物线于点D.(1)若抛物线的表达式为y2x22x4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.求点M，N的坐标；是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由2(2018枣庄中考)如图1，已知二次函数yax2xc(a0)的图象与y轴交于点A(0，4)，与
2、x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0)，连接AB，AC.(1)请直接写出二次函数yax2xc的表达式；(2)判断ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；(4)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求此时点N的坐标图1图23(2018随州中考)如图1，抛物线C1：yax22axc(a0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标为(1，0)，点O为坐标原点，OC3OA，抛物线C1的顶点为G.(1)求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；(2
3、)如图2，将抛物线C1向下平移k(k0)个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A，B，顶点为G，当ABG是等边三角形时，求k的值；(3)在(2)的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于P，Q两点，试探究在直线y1上是否存在点N，使得以P，Q，N为顶点的三角形与AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由参考答案1解：(1)如图，y2x22x42(x)2，顶点M的坐标为(，)当x时，y243，则点N的坐标为(，3)不存在理由如下：MN3.设P点坐标为(m，2m4)，则D(m，2m22m4)，PD2m22m4(2m4)2m2
4、4m.PDMN，当PDMN时，四边形MNPD为平行四边形，即2m24m，解得m1(舍去)，m2，此时P点坐标为(，1)PN，PNMN，平行四边形MNPD不为菱形，不存在点P，使四边形MNPD为菱形(2)存在如图，OB4，OA2，则AB2.当x1时，y2x42，则P(1，2)，PB.设抛物线的表达式为yax2bx4，把A(2，0)代入得4a2b40，解得b2a2，抛物线的表达式为yax22(a1)x4.当x1时，yax22(a1)x4a2a242a，则D(1，2a)，PD2a2a.DCOB，DPBOBA，当时，PDBBOA，即，解得a2，此时抛物线的表达式为y2x22x4；当时，PDBBAO，即
5、，解得a，此时抛物线的表达式为yx23x4.综上所述，满足条件的抛物线的表达式为y2x22x4或yx23x4.2解：(1)yx2x4.提示：二次函数yax2xc的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0)，解得抛物线的表达式为yx2x4.(2)ABC是直角三角形理由如下：令y0，则x2x40，解得x18，x22，点B的坐标为(2，0)在RtABO中，AB2BO2AO2224220，在RtAOC中，AC2AO2CO2428280.又BCOBOC2810，在ABC中，AB2AC22080102BC2，ABC是直角三角形(3)A(0，4)，C(8，0)，AC4.以A为圆心
6、，以AC长为半径作圆，交x轴于点N，此时N的坐标为(8，0)；以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于点N，此时N的坐标为(84，0)或(84，0)；作AC的垂直平分线，交x轴于点N，此时N的坐标为(3，0)综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为(8，0)，(84，0)，(84，0)，(3，0)(4)设点N的坐标为(n，0)，则BNn2.如图，过点M作MDx轴于点D，MDOA，BMDBAO，.MNAC，.OA4，BC10，BNn2，MD(n2)SAMNSABNSBMNBNOABNMD(n2)4(n2)2(n3)25，当n3时，SAMN最大，
7、当AMN面积最大时，N点坐标为(3，0)3解：(1)点A的坐标为(1，0)，OA1.OC3OA，点C的坐标为(0，3)将A，C点坐标代入yax22axc得解得抛物线C1的解析式为yx22x3(x1)24，点G的坐标为(1，4)(2)设抛物线C2的解析式为yx22x3k，即y(x1)24k.如图，过点G作GDx轴于点D，设BDm.ABG为等边三角形，GDBDm，则点B的坐标为(m1，0)，点G的坐标为(1，m)将点B，G的坐标代入y(x1)24k得解得(舍)或k1.(3)存在M1(，0)，N1(，1)；M2(，0)，N2(1，1)；M3(4，0)，N3(10，1)；M4(4，0)，N4(2，1)
