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1、专题二：基本函数、函数的图像及零点问题 2018.1.30一、指数函数1根式：(1) 定义：若，则称为的次方根 当为奇数时，次方根记作_； 当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作_(a0).(2) 性质： ； 当为奇数时，； 当为偶数时，_ 2指数：(1) 规定： a0 (a0)； a-p ； .(2) 运算性质： (a0, r、Q) (a0, r、Q) (a0, r、Q)注：上述性质对r、R均适用.3指数函数： 定义：函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ；3) 当_时函数为减函数，当_时为增函数. 函数图像：1) 过点 ，图象在 ；2)
2、指数函数以 为渐近线(当时，图象向 无限接近轴，当时，图象向 无限接近x轴)；3)函数的图象关于 对称. 函数值的变化特征： 例1. 已知a=,b=9.求： （1） （2）.解：（1）原式=.a= =a. a=，原式=3.（2）方法一 化去负指数后解.a=a+b=方法二 利用运算性质解. a=a+b=二、 对数函数1对数：(1) 定义：如果，那么称 为 ，记作 ，其中称为对数的底，N称为真数. 以10为底的对数称为常用对数，记作_ 以无理数为底的对数称为自然对数，记作_(2) 基本性质： 真数N为 (负数和零无对数)； ； ；m 对数恒等式： (3) 运算性质： loga(MN)_； loga
3、_； logaMn (nR). 换底公式：logaN (a0，a1，m0，m1，N0) .2对数函数： 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当_时，函数为减函数，当_时为增函数；4) 函数与函数 互为反函数. 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)；4) 函数ylogax与 的图象关于x轴对称 函数值的变化特征： 例1 计算：（1）（2）2(lg)2+lglg5+;（3）lg-lg+lg.解：（1）方法一 利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-=（2+）-1,x=-1
4、.方法二 利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1.（2）原式 =lg（2lg+lg5）+ =lg(lg2+lg5)+|lg-1|=lg+(1-lg)=1.（3）原式 =（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-+ (2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5 =lg2+lg5 =lg(25) = lg10=.三、幂函数1幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是基础过关常数；注意：幂函数与指数函数的区别2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；（2）当时，幂函数在上 ；当时，幂函数在上 ；（3）当时，幂
5、函数是 ；当时，幂函数是 3幂函数的性质：（1）都过点 ；（2）任何幂函数都不过 象限；（3）当时，幂函数的图象过 4幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于 对称例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1） （2） （3） （4） （5） （6）解：（1）此函数的定义域为R， 此函数为奇函数（2）此函数的定义域为 此函数的定义域不关于原点对称 此函数为
6、非奇非偶函数（3）此函数的定义域为 此函数为偶函数（4）此函数的定义域为 此函数为偶函数（5）此函数的定义域为此函数的定义域不关于原点对称此函数为非奇非偶函数（6） 此函数的定义域为 此函数既是奇函数又是偶函数三、函数的图象一、基本函数图象特征（作出草图）1一次函数为 ； 2二次函数为 ； 3反比例函数为 ；4指数函数为 ，对数函数为 .二、函数图象变换1平移变换：水平变换：yf(x)yf(xa) (a0) yf(x)yf(xa) (a0)竖直变换：yf(x)yf(x)b (b0)yf(x)yf(x)b (b0)2对称变换： yf(x)与yf(x)关于 对称 yf(x)与yf(x)关于 对称
7、yf(x)与yf(x)关于 对称 yf -1(x)与yf(x)关于 对称 y|f(x)|的图象是将yf(x)图象的 yf(|x|)的图象是将yf(x)图象的 3伸缩变换： yAf (x) (A0)的图象是将yf(x)的图象的 . yf (ax) (a0)的图象是将yf(x)的图象的 .4若对于定义域内的任意x，若f (ax)f (ax) (或f (x)f (2ax)，则f (x)关于 对称，若f (ax)f (ax)2b (或f (x)f (2ax)2b)，则f (x)关于 对称.例1 作出下列函数的图象.（1）y=(lgx+|lgx|);（2）y=;（3）y=|x|.解：（1）y=（2）由y
8、=,得y=+2.作出y=的图象，将y=的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位得 y=+2的图象.（3）作出y=（）x的图象，保留y=（）x图象中x0的部分，加上y=（）x的图象中x0的部分关于y轴的对称部分，即得y=（）|x|的图象.其图象依次如下：来源:学科网ZXXK来源:学科网ZXXK例2设函数f(x)=x2-2|x|-1 (-3x3).（1）证明：f(x)是偶函数；（2）画出函数的图象；（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；（4）求函数的值域.（1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=
9、f(x),f(x)是偶函数.（2）解： 当x0时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,当x0时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示.（3）解： 函数f(x)的单调区间为-3，-1），-1，0），0，1），1，3.f（x）在区间-3，-1）和0，1）上为减函数，在-1，0），1，3上为增函数.（4）解： 当x0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;当x0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2;故函数f(x)的值域为-2，2.（一）图像问题训练：1.函数与函
10、数的图像如右图所示，则函数的图像可能是下面的（ ）2.的图像如图所示，则的解析式可能为 ( )A. B. C. D.3.函数的图像大致为 ( ) 4.函数的图像大致是 （ ）5.函数的部分图像大致是 （ ）6.已知函数，则函数的大致图像为 （ ）7.函数的大致图像为 （ ）8.函数的图像大致为 （ ）9.函数的图像大致是 ( )10.函数的图像如右图，为常数，则函数的大致图像是 （ ）11.函数的图像大致是 ( )A BC. D. 12.（山东）函数的图像大致是 ( )（二）函数的零点问题：1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数，我们把方程的实数根叫函数的零点（零点不是点，是图像与x轴交点横坐标）。（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。若函数在区间上的图像是连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。2、 二分法：对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;3、函数与方程解题技巧（一）函数零点的存在性定理
