非线性动力学——时间序列分析读书报告

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1、 非线性动力学非线性动力学 时间序列分析时间序列分析读书报告读书报告 Email dragon hm 2 7 1 时间序列分析简介 用随机过程理论和数理统计学方法研究随机数据序列所遵从的统计规律 以用于解决实际问 题 由于在大多数问题中 随机数据是依时间先后排成序列的 称为时间序列 它包括一般统计 分析 如自相关分析 谱分析等 统计模型的建立与推断 以及关于随机序列的最优预测 控制 和滤波等内容 经典的统计分析都假定数据序列具有独立性 而时间序列分析则着重研究数据序列的相互依 赖关系 后者实际上是对离散指标的随机过程的统计分析 所以又可看作是随机过程统计的一个 组成部分 例如 用 x t 表示

2、某地区第 t 月的降雨量 x t t 1 2 是一时间序列 对 t 1 2 T 记录到逐月的降雨量数据x 1 x 2 x T 称为长度为T 的样本序列 依此 即可使用时间序列分析方法 对未来各月的雨量x T i i 1 2 进行预报 时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻画某一现象 与其他现象之间的内在数量关系及其变化规律性 达到认识客观世界之目的 而且运用时间序列 模型还可以预测和控制现象的未来行为 时间序列分析在第二次世界大战前就已应用于经济预测 二次大战中和战后 在军事科学 空间科学和工业自动化等部门的应用更加广泛 2 时间序列概述 时间序列包含一系列数据

3、 这些数据是随时间或者其他变量的增加而得到的 并随着时间的 改变 变量值的序列组成了一个时间序列 例如 股票每天的收盘价格就是一个时间序列 每年 客运流量是一个时间序列 某种商品的销售数量也是一个时间序列 时间序列存在于日常生活之 中 2 1 时间序列的定义 时间序列是指按照时间顺序获得的一系列观测值 从数学意义上讲 如果对某一过程中的某 一变量或一组变量 X t 进行观察测量 在一系列时刻t1 t2 tn t 为自变量 且t1 t2 tn 得到的离散有序数集合X t1 X t2 X tn 称为离散数字时间序列 即随机过程的 一次样本实现 设X t t T 是一个随机过程 X ti i 1 2

4、 是在时刻 i 对过程X t 的观察值 则X ti i 1 2 称为一次样本实现 也就是一个时间序列 从纵向上看 时间序列是指存在于自然科学 社会科学中的某一变量或指标的数值以及观测 值 按照其出现时间的先后次序 以相同的或不同的间隔时间排列的一组数值 它是某一现象或 3 7 若干现象在不同时刻上的状态所形成的数据 反映的是现象与现象之间关系的发展变化规律 从 横向上看 时间序列也可以是将若干相关现象在某一时间点上所处的状态按一定顺序排序的一组 数据 反映的是一定时间 地点条件下各相关现象之间存在的内在数值联系 因此 从系统的意 义上看 时间序列就是某一系统在不同时间 地点 条件等 的响应 2

5、 2 时间序列分析基本特征 2 2 1 时间序列分析法是根据过去的变化趋势预测未来的发展 它的前提是假定事物的过去延续 到未来时间序列分析 正是根据客观事物发展的连续规律性 运用过去的历史数据 通过统计分 析 进一步推测未来的发展趋势 事物的过去会延续到未来这个假设前提包含两层含义 一是不 会发生突然的跳跃变化 是以相对小的步伐前进 二是过去和当前的现象可能表明现在和将来活 动的发展变化趋向 这就决定了在一般情况下 时间序列分析法对于短 近期预测比较显著 但 如延伸到更远的将来 就会出现很大的局限性 导致预测值偏离实际较大而使决策失误 2 2 2 时间序列数据变动存在着规律性与不规律性时间序列

6、中的每个观察值大小 是影响变化的 各种不同因素在同一时刻发生作用的综合结果 从这些影响因素发生作用的大小和方向变化的时 间特性来看 这些因素造成的时间序列数据的变动分为四种类型 1 趋势性 某个变量随着时间进展或自变量变化 呈现一种比较缓慢而长期的持续上升 下降 停留的同性质变动趋向 但变动幅度可能不相等 2 周期性 某因素由于外部影响随着自然季节的交替出现高峰与低谷的规律 3 随机性 个别为随机变动 整体呈统计规律 4 综合性 实际变化情况是几种变动的叠加或组合 预测时设法过滤除去不规则变动 突出反 映趋势性和周期性变动 2 3 时间序列模型 时间序列中的模型 常见的有 2 3 1 自回归

7、模型 仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用 不受模型 变量相互独立的假设条件约束 所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择 多 重共线性等造成的困难 2 3 2 移动平均 模型 用过去各个时期的随机干扰或预测误差的线性组合来表达当前预测值 的假设条件不满 4 7 足时可以考虑用此形式 2 3 3 自回归移动平均 模型 使用两个多项式的比率近似一个较长的AR 多项式 即其中 个数比 模型的阶数 小 前二种模型分别是该种模型的特例 一个 过程可能是 与 过程 几个 过程 与 过程的迭加 也可能是测度误差较大的 过程 2 3 4 自回归综合移动平均 模型

8、 模型形式类似 模型 但数据必须经过特殊处理 特别当线性时间序列非平稳时 不能直接利用 模型 但可以利用有限阶差分使非平稳时间序列平稳化 实际应用中 一般不超过2 若时间序列存在周期性波动 则可按时间周期进行差分 目的是将随机误差有长久 影响的时间序列变成仅有暂时影响的时间序列 即差分处理后新序列符合 模型 原序 列符合 模型 2 4 时间序列分析方法 2 4 1 时间序列建模基本步骤是 1 用观测 调查 统计 抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据 2 根据动态数据作相关图 进行相关分析 求自相关函数 3 辨识合适的随机模型 进行曲线拟合 即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据 对于短的

9、或简单的时间序列 可用趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合 对于平稳时间 序列 可用通用 模型 自回归滑动平均模型 及其特殊情况的自回归模型 滑动平均模型 或组合 模型等来进行拟合 当观测值多于50个时一般都采用 模型 2 4 2 时间序列分析方法 时间序列分析的基本思想是根据系统有限长度的运行记录 观测数据 建立能精确反映时 间序列中所包含的动态依存关系的数学模型 通常的时间序列有水文信息 股票的股价 交通流 量和商店中商品的销售状况等 针对不同种类的时间序列 选择的分析方法也会有所差别 为了 揭示所研究时间序列的动态规律性 人们在实践中产生了一系列分析研究时间序列的方法 1 确定性时序分析

10、方法 时间序列分析就是设法消除随机性波动 分解季节性变化和拟确定性 趋势 主要包括发展水平分析 趋势变化分析 季节变动分析和循环波动测定等方法 2 随机性时序分析方法 通过建立随机模型 对随机时间序列进行分析 可以预测未来值 主 要包括一元 多元 时序分析 可控 不可控 时序分析等方法 5 7 3 其他方法 神经网络 遗传算法等都可用于时间序列的预测 由于大量的时间序列是非平稳 的 因此探讨多种技术结合来实现时间序列挖掘是必要的 3 非线性时间序列分析 传统的信号分类是将信号分为确定信号和随机信号两大类 这种分类遗漏了一大类重要的信 号即混沌信号 混沌信号是由确定系统产生的类似随机的信号 混沌

11、信号分析属于非线性信号处理方法 线 性方法解释数据集为完全规则的结构 例如 占主导的频率 线性相关性 这意味着系统的动 态特性由线性范例控制 这种线性范例是小的因素产生小的结果 当线性方程组只能得到指数增 加和周期性的震荡解时 一般认为系统的不规则状态起因于外部的随机干扰 但混沌理论告诉我 们 随机干扰不是引起系统不规则的惟一来源 非线性混沌系统也会产生非常不规则的数据 该 数据具有确定的运动方程 动态系统的一般理解和定义为 考虑一个由 个一阶微分方程组所描述的运动 x 式 中x x1 x2 xn x 不明显地依赖于 t 当初始条件和运动方程已知时 便可惟一地确 定运动轨迹 典型的轨迹是随时间

12、演化的 其为无穷或局限在一有限区域 若 x 是 x 的非线性 函数 则系统称为非线性动态系统 在物理上 线性和非线性之间至少在三个方面有不同的特征 1 从运动本身讲 线性运动在空间 时间表现为光滑规则的运动 非线性运动往往从光滑 的运动变为混沌运动 甚至看上去像随机行为 2 线性运动是参数变化小 其响应变化不会很大 非线性运动小的参数变化可产生运动中 巨大的量的变化 3 线性运动中局部脉冲会随着时间的传播而衰减 非线性可以有高度相干的稳态 目前通过实验分析和理论证明已知 激光强度数据 人的呼吸率数据 母婴心电图数据及 湍流数据等都是非线性混沌数据 3 1 线性分析方法和非线性分析方法的特点及其

13、比较 3 1 1 线性分析方法及其特点 线性统计推断是发展比较成熟的方法 它使用若干统计工具来定义并区分数据 其优点在于 其概念可严格地推导 线性分析方法用均值 方差 相关函数 功率谱这样的数字特征来分析和 6 7 表征数据 均值 方差 相关函数是从时域描述信号的统计特性 而功率谱是从频域描述信号 功率谱在研究一个系统的震荡特性时非常有用 推断的理由是 在主频率及其谐波处会有尖 锐或宽的峰值 纯的周期或准周期信号会显示尖的谱线 测量噪声 一般认为是高斯噪声 具有 连续的平的谱 这样可以用功率谱来区分信号和噪声 但这些数字特征不足以区分随机过程和确定混沌信号 因为确定混沌系统也可能会有尖的谱 线

14、 但即使是在没有噪声的情况下 也会有连续部分 这是自相关函数指数衰减导致的结果 在 没有其它信息的情况下 不能推断谱的连续部分是由于 准 周期信号上的噪声产生的还是由于 混沌产生的 为给出更直观的理解 从下面的例子可以看出线性分析方法的不足 产生两个人为的时间序列 第一个 n 1 包含的是 1 均匀分布的随机数 而第二个序列确定的动态系统 x 1 xn 1 2xn 2 xn的值不是直接测量 而是通过非 线性观测函数 n xn 得到 现比较这两个序列的均值 方差 功率谱 时间序列图和功率谱图可以得出 两个序列好象都是随机序列 但实际上其产生机制是不同 的 第一个序列是随机序列 第二个序列是确定的

15、非线性混沌序列 混沌序列信号具有宽带 类 噪声 难以预测的特点 通过计算可知 两个时间序列均值 方差是相等的 通过比较可知 用 上述的线性分析方法和推断准则 不能很好地表征和区分这两类信号 3 1 2 非线性时间序列分析方法及其特点 作者所获得的信号通常是时间序列 非线性时间序列分析的目的是要从时间序列中构建动态 模型 为此 通常采用相空间重建技术 相空间重建技术可简单地描述如下 以某种方式从原始 序列x t 中产生几个不同的标量信号x t 能构建一个 维空间 在某种条件下能得到动态系统 吸引子良好的表示 最简单最常用的做法是使用时间延迟 记x t x t 1 1 其中 是时 间延迟 以这种方

16、式产生一个 维信号 可用向量表示为 x t x1 t x2 t x t 注意改变从 x t 中构建的变量集 原则上得到相同的几何信息 若 是包含吸引子族的维数 Taken证明了用 2 1 的埋入维数足够嵌入吸引子 混沌的延迟时间需要仔细选择 若太小 则x t x t 太靠近 意味着它们不够独立作为独立坐标 若 太大 混沌又使得x t x t 没 有联系 自相关和互信息常用来确定延迟时间 在相空间重建的基础上可以作出相轨迹图 从相 轨迹图上可判别信号是否存在奇怪吸引子 为进一步判断分析信号的混沌特性奠定基础 更严格 7 7 的混沌特性辨别分析包含诸如相关维数 分形维数 指数 维数和熵的计算 在此基础 上做进一步的非线性数据预测 吸引子特性分析等工作 这些特性往往可以作为信号检测 模式 识别的依据 在上述初步分析的基础上 可进一步研究讨论更深入的论题包含混沌中的噪声处理 混沌信 号更多的数字特征的分析讨论 混沌控制 高维混沌 时空模式的分析 多分辨自相似信号等论 题 4 研究方向展望 虽然目前关于非线性时间序列分析的研究有一些进展 但主要还只局限于一些理论分析方面 其研究成果还是比较初步的