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1、.XX学院毕业论文浅析函数极值的求法及应用院系： 数学与计算机科学学院 专业： 数学与应用数学 年级、班级： 08数本 ： XXX 学号： XXXXXXX 指导教师(职称)： XXXXX 2012 年 3 月 15 日 . . . 浅析函数极值的求法及应用摘要 函数极值是数学研究的重要容之一，故对函数极值问题的探讨具有重要意义。本文讨论了利用拉格朗日乘数法、柯西不等式法和梯度法求函数条件极值，以及利用方向导数判别法、MATLAB法求函数无条件极值，归纳出了函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题的若干应用。关键词 函数 极值 求法 应用Analysis of the functi
2、on extreme value solution and its applicationAbstract The extreme value of function is one of the important contents of mathematics study,so the function extreme problems of the function extreme value has important significance.This paper discusses the use of the Lagrange multiplier method,the Cauch
3、y inequality method and gradient method for function conditional extremum,and the use of directional derivative method,MATLAB software and function unconditional extremum,summarized some applications about the extreme value of function in the proof of inequality, physics, production and sales and be
4、e house problems.Keywords function；extreme value；solution；application目录摘要关键词第一章 引言1第二章 函数极值的定义及其存在的条件12.1多元函数极值的定义22.2多元函数极值存在的条件2第三章 函数极值的若干求法33.1拉格朗日乘数法求极值33.2柯西不等式法求极值43.3梯度法求极值53.4利用方向导数判别多元函数的极值73.5 Matlab求函数极值9第四章 函数极值理论的应用 124.1函数极值在不等式证明中的应用124.2函数极值在物理学中的应用134.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用144.4运用函
5、数极值分析蜂房的最优化问题15第五章 结束语18致谢语18引用文献18第一章 引言函数极值一直是数学研究的重要容之一，在科学与生产实践中存在着许多和极值有关问题。由于函数极值应用广泛，加之函数本身变化纷繁，所以人们对求函数极值的方法研究较多，这些与许多数学家的努力是分不开的。他们将理论与实际有机的结合起来，不仅为科研打下了良好的基础，也为诸多领域的实际工作提供了便捷，如在物理、经济、现实生活等方面提供了便捷的方法，使得许多问题很便利的得以解决。多元函数涉及到的量比较多，在求解某类形式上比较复杂的函数极值问题比较困难，所以在本文将重点介绍多元函数极值的求法。而我们在解题的过程当中常常会遇到一些具
6、有某些条件限制的多元函数极值的求解，在解这种条件极值的问题时当然我们不能不考虑其限制条件，那么我们什么时候、什么地方、如何用这些限制条件就成了我们所关心的问题。所以，本文重点探讨多元函数条件极值问题。针对多元函数条件极值求法，文中归纳出了三种方法，拉格朗日乘数法、柯西不等式法、梯度法。其中拉格朗日乘数法就是求条件极值最常用的方法。对于求无条件极值，求解的方法相对来说就更多了，除了数学分析课本介绍的判别法之外还有方向导数判别法等。随着现代科技的进步，计算机软件已得到广泛应用，应用软件求解函数极值应运而生，大学期间就开设了数学建模与数学实验的课程，可以从中学习运用MATLAB软件求函数极值，它不但
7、方便而且准确，是一种求无条件极值的好方法。在解题的过程中合理的选择一种好的方法，就等于成功了一半，同时可以大大减少解题的时间，对拓展解题的思路是很有帮助的。函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题等方面有着广泛的应用。不等式的证明是数学学习过程中我们经常遇到的，其对综合能力和分析能力的要求都很高。目前有多种形式的方法来证明不等式，本文以举例说明的方式给出应用多元函数条件极值的解法来解决不等式证明的思想，即在不等式证明中，适当变换目标函数和相应的限制条件来证明不等式。函数极值在物理学中的应用也是非常广泛的，比如利用函数极值来证明光的折射定律等。在生产和销售商品的过程中销售量、成本与
8、售价是相互影响的，厂家可以运用函数极值，知道如何选择合理的销售价格才能获得最大利润。很多的数学模型都源于生活，是从一些实际问题中抽象出来的，所以，可以通过探讨函数极值的方法来分析现实生活中许多有趣的问题，如著名的数学家华罗庚就利用极值探讨过蜂房结构有关的数学问题。综上所述，我们对函数极值的求法及应用做一个比较全面的了解是相当重要的。第二章 函数极值的定义及其存在的条件极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。我们先来了解下一元函数极值的定义。定义1：设函数在的某个邻域有定义，如果对
9、该邻域的所有点，都有，则是函数的一个极大值；如果对该邻域的所有的点，都有，则是函数的一个极小值。极大值和极小值统称为极值；极大点和极小点统称为极值点。下面重点了解多元函数极值的定义及其存在的条件。2.1 多元函数极值的定义：定义2：设元函数在点的某个邻域有定义，如果对该邻域任一异于的点都有，则称函数在点有极大值；类似的，若在该邻域任一异于的点都有，则称函数在点有极小值。2.2 多元函数极值存在的条件定理1：（必要条件）若元函数在点存在偏导数，且在该点取得极值，则有 。证明：因为函数在点 取得极值, 所以固定在 后所得的一元函数在点取得极值，于是，同理，因此 。定理2：（充分条件）设元函数在附近
10、具有二阶连续偏导数，且为的驻点。那么当二次型 正定时，为极小值；当负定时，为极大值；当不定时，不是极值。记，并记 ，它称为的阶黑塞矩阵。特殊地，当时，有如下推论：推论1：若二元函数某领域具有一阶和二阶连续偏导数，且 ，令 ，则当时，；当时，没有极值；当时，不能确定。第三章 函数极值的若干求法函数极值问题是数学中的一个重点问题，在讨论极值问题时，往往会遇到函数的自变量要受某些条件的限制，从而引出了极值和条件极值问题（或限制极值问题）。例如，决定一给定点到一曲面的最短距离的问题就是条件极值问题。下面3.1、3.2和3.3将重点探讨函数条件极值的求法。3.1拉格朗日乘数法求极值拉格朗日乘数法是一种寻
11、找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有个变量与个约束条件的最优化问题转换为一个有个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值一种最常用的方法。求目标函数在条件函数，（）组限制下的极值。若及有连续的偏导数，且雅克比矩阵的秩为，则可以用拉格朗日乘数法求极值。首先，构造拉格朗日函数=+，然后，解方程组，从此方程组中解出驻点的坐标，进而求出函数的极值。例1：求函数在条件下的极值。解：本题是条件极值问题，设拉格朗日函数为 令 解得 故得驻点 又 所以 故 是极小值点极小值 3.2柯西不等式法求极值柯西不等式是由法国数学家柯西（Cauchy
12、）研究得到的一个非常重要的不等式，柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。某些函数的极值可以转化为柯西不等式的形式求解。柯西不等式：对于任意的实数，总有，简述为“积和方不大于方和积”，当且仅当实数与对应成比例时，等号成立。由此，得到两个重要结论：（1）若，则（2）若，则（其中）。在使用时，往往要采取一些方法，如巧拆常数、巧变结构、巧设数组等，构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。例2：设,且,求u =的最小值。解:由柯西不等式可得由 及可得 ，此时 本题通过巧用 “1”构造出了符合柯西不等式的形式及条件，继而达到解题目的。3.3梯
13、度法求极值梯度法每次迭代都是沿迭代点函数值下降最快的方向搜索，所以梯度法又名最速下降法，是无约束优化方法中最基本的方法之一。用梯度法求目标函数在条件函数，组限制下的极值，方程组的解,就是所求极值问题的可能极值点。其中表示目标函数的梯度向量，表示条件函数的梯度向量。实质上这种解法可以看作是将拉格朗日乘数法用梯度的形式来简写。这是因为将以上的梯度形式按各分量写开，就是拉格朗日乘数法的形式。例3：试求个正数，其和为定值的条件下，什么时候乘积最大，并证明。证明：本题的实质是求在条件下的最大值问题。根据本文定理,列出下列方程组,求解可能的极值点。进一步求解得 容易得到,根据题意，则是唯一的极大值点，也是最大值点。所以，即。这一方法当然适合于二元函数和三元函数的条件极值问题。例如:求在条件下的极值, 只要列出方程组，再求出相应的,则其中是可能的极值点。
