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1、八年级数学 上 几何证明练习题 1 已知 在 ABC中 A 90度 AB AC 在BC上任取一点P 作PQ AB交AC于Q 作PR CA交BA于R D是BC的中点 求证 RDQ是等腰直角三角形 2 已知 在 ABC中 A 900 AB AC D是AC的中点 AE BD AE延长线交BC于F 求证 ADB FDC 4 已知 如图 1 在 ABC中 BP CP分别平分 ABC和 ACB DE过点P交AB于D 交AC于E 且DE BC 求证 DE DB EC 5 在Rt ABC中 AB AC BAC 90 O为BC的中点 1 写出点O到 ABC的三个顶点A B C的距离的大小关系 不要求证明 2 如
2、果点M N分别在线段AB AC上移动 在移动中保持AN BM 请判断 OMN的形状 并证明你的结论 6 如图 ABC为等边三角形 延长BC到D 延长BA到E AE BD 连结EC ED 求证 CE DE 7 如图 等腰三角形ABC中 AB AC A 90 BD平分 ABC DE BC且BC 10 求 DCE的周长 几何证明习题答案1 连接AD 由 ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC 且AD BD DAQ DBR 45度 又由平行关系得 四边形RPQA为矩形 所以AQ RP BRP也是等腰直角三角行 即BR PR 所以AQ BR由边角边 BRD全等于 AQD 所以 BDR ADQ DR DQ
3、 RDQ RDA ADQ RDA BDR 90度 所以 RDQ是等腰RT 2 作AG平分 BAC交BD于G BAC 90 CAG BAG 45 BAC 90 AC AB C ABC 45 C BAG AE BD ABE BAE 90 CAF BAE 90 CAF ABE AC AB ACF BAG CF AG C DAG 45 CD AD CDF ADG CDF ADB3 易证 ABM NAC NAM NAE BAM NAE ANE 90 4 BPCD分别平分角 ABC和 ACB DBP PBC ECP PCB DE BC DPB PBC EPC PCB DP DPEP EC DE DP DE
4、 DB EP EC DE DB EC5 1 因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心 所以O到 ABC的三个顶点A B C距离相等 2 OMN是等腰直角三角形 证明 连接OA 如图 AC AB BAC 90 OA OB OA平分 BAC B 45 NAO 45 NAO B 在 NAO和 MBO中 AN BM NAO B AO BO NAO MBO ON OM AON BOM AC AB O是BC的中点 AO BC 即 BOM AOM 90 AON AOM 90 即 NOM 90 OMN是等腰直角三角形 6 延长CD到F 使DF BC 连结EF AE BD AE CF ABC为正三角形 BE BF
5、 B 60 EBF为 等边三角形 角F 60 EF EB在 EBC和 EFD中EB EF 已证 B F 已证 BC DF 已作 EBC EFD SAS EC ED7 DE BC DEB 90 BD平分 ABC在直角三角形ABD和直角三角形DBE中 A DEBBD BD ABD DBE 直角三角形ABD全等直角三角形DBE BE ABAD DE AB AC BE CE AC CE DCE CE DE CD CE AD CD CE CA BE CE 10 例1 6分题 如图 已知 B C 90 M是BC的中点 DM平分 ADC 1 若连接AM 则AM是否平分 BAD 请你证明你的结论 2 DM与A
6、M有怎样的位置关系 请说明理由 3 求证 AD AB CD 练2 6分题 如图 AB CD DE平分 ADC AE平分 BAD 求证 AD AB CD 例3 6分题 如图 已知 B C 90 M是BC的中点 DM平分 ADC 求证 AD AB CD 练4 6分题 如图 已知在 ABC中 AB CD BDA BAD AE为 ABD的BD边上的中线 求证 AC 2AE 练2 6分题 如图 已知AB CD AD与BC相交于F BE平分 ABC E为AD的中点 问 AB BC和CD三条线段之间有什么数量关系 并给出证明 如有需要可直接运用下面的定理 在一个三角形中 如果有两个角相等 那么它们所对的边也
7、相等 简写成 等角对等边 例3 9分题 如图 已知在有公共顶点的 OAB和 OCD中 OA OB OC OD 且 AOB COD 1 求证 CA BD 2 若将 OCD绕点O沿着逆时针方向旋转 当旋转到A C D在同一条直线上时 问 1 中的结论是否仍然成立 如果结论成立 请证明 如果不成立 请说明理由 练4 9分压轴题 如图 OP是 MON的平分线 请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形 请你参考这个做全等三角形的方法 解答下列问题 1 如图 在 ABC中 ACB是直角 B 60 AD CE分别是 BAC BCA的平分线 AD CE相交于点F 请你写出FE与FD之间的数量关系
8、 2 如图 在 ABC中 如果 ACB不是直角 而 1 中的其它条件不变 请问 你在 1 中的结论是否仍然成立 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 3 你还能得出什么结论 请给出证明 练5 9分题 已知 如图 在 ABC中 AD平分 BAC DE AB与E DF AC与F 1 求证 AD EF 2 如图 当有一动点G在AD所在的直线上运动 其余条件不变 那么 这时EF AD的结论是否仍然成立 如果成立 请给出证明 如果不成立 请说明理由 练6 9分压轴题 如图 一个等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起 现正方形ABCD保持不动 将三角尺GEF绕斜边EF的
9、中点 点O也是BD的中点 顺时针方向旋转 1 如图 当EF与AB相交于点O GF与BD相交于点N时 通过观察或测量BM FN的长度 猜想BM FN满足的数量关系 并证明你的猜想 2 将三角尺GEF旋转到如图 所示的位置时 线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M 线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N 此时 1 中的猜想还成立吗 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 例7 6分题 如图 要在燃气管道l上修建一个泵站 分别向A B两镇供气 1 泵站C修建在什么地方 可使所用的燃气管线最短 不写做法 保留作图痕迹 2 请你在 1 的基础上 过A点作AD l 并连接DB 求证 AD DB AC
10、 CB 练8 6分题 如图 已知牧马营地M处 每天牧马人要赶马群先到河边饮水 再到草地上吃草 最后回到营地 试着设计出最短的牧马路线 不写做法 保留作图痕迹 练9 6分题 如图 E F为 ABC的边AB AC上的两个定点 在BC上求作一点D 使 DEF的周长最短 例10 6分题 如图 已知在 ABC中 DE垂直平分BC 若 ABC的周长为10 BC 4 求 ACE的周长 练11 6分题 如图 在 ABC中 DE垂直平分AC AC 5 ABD的周长为13 求 ABC的周长 练12 6分题 如图 等腰三角形ABC的周长为21 底边BC 5 DE垂直平分AB 求 BEC的周长 例13 6分题 如图
11、已知 ABC 请你用尺规作图画出 ABC关于直线l的对称图形 练14 6分题 如图 已知 ABC 请你用尺规作图画出 ABC关于直线l的对称图形 例15 7分题 已知 ABC和 ECD均为等边三角形 且B C D三点在同一条直线上 求证 1 BE AD 2 FG BD 练16 7分题 已知 ABC和 ECD均为等边三角形 求证 AD BE 练17 7分题 如图 已知 ABC和 ECD均为等边三角形 求证 BE AD 练18 7分题 如图 已知四边形ABCD和ECFG均为正方形 求证 1 DF BE 2 DF BE 练19 7分题 如图 已知 ADC和 BDE均为等腰直角三角形 求证 1 BC
12、AE 2 BC AE 练20 7分题 已知 ABC和 EDC均为等腰直角三角形 求证 1 AE BD 2 AE BD 学法指津 角平分线加平行线构建等腰三角形 学习本课内容 要综合运用 等腰三角形三线合一 等边对等角 等角对等边 及 等边三角形三条边相等 三个内角相等且三个内角都是60 等定理 才能做出复杂图形题目 学法指津 全等三角形的复杂图形解题思路与基本图形的解题思路一致 解答复杂图形 要把复杂图形分解成基本图形进行解答 就会觉得非常简单了 图形越复杂 条件越多 做起来越简单 因为不用做辅助线 图形越简单 条件越少 做起来越难 往往要通过画辅助线来创造条件解决 解决复杂图形题目时 一般把已知条件在图中描出来或标出来 这样有利于整理条件 小结 证明两条线段相等或角相等 如果这两条线段或角在两个三角形内 就证明这两个三角形全等 如果这两条线段或角在同一个三角形内 就证明这个三角形是等腰三角形 如果看图时两条线段既不在同一个三角形内 也不在两个全等三角形内 那么就利用辅助线进行等量代换
