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1、2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征1会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差(重点)2理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法(重点)3会应用相关知识解决实际统计问题(难点)基础初探教材整理1众数、中位数、平均数阅读教材P72P73的内容，完成下列问题1众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫做众数如果有两个或两个以上数据出现的最多且出现的次数相等，那么这些数据都是这组数据的众数；如果一组数据中，所有数据出现的次数都相等，那么认为这组数据没有众数2中位数：将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的那个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间的两
2、个数的平均数是这组数据的中位数3平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数，一般记为(x1x2xn)4三种数字特征的比较名称优点缺点众数体现了样本数据的最大集中点；容易计算它只能表达样本数据中很少的一部分信息；无法客观地反映总体的特征中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；容易计算，便于利用中间数据的信息对极端值不敏感平均数代表性较好，是反映数据集中趋势的量一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息任何一个数据的改变都会引起平均数的改变数据越“离群”，对平均数的影响越大1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)中位数一定是样本数据中的某个数
3、()(2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的()【答案】(1)(2)2已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A平均数中位数众数B平均数中位数众数C中位数众数平均数D众数中位数平均数【解析】众数为50，平均数(2030405050607080)50，中位数为(5050)50，故选D.【答案】D3一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为()A4.55B4.5C12.5D1.64【解析】4.55.【答案】A教材整理2频率分布直方图中的众数、中位数、平均数阅读教材P72P73的内容，完成下列问题在频率分布直方
4、图中，众数是最高矩形中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和教材整理3标准差、方差阅读教材P74P77例2上面的内容，完成下列问题1标准差的计算公式标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s .2方差的计算公式标准差的平方s2叫做方差s2(x1)2(x2)2(xn)2其中，xi(i1,2，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_【解析】(1)7
5、.(2)s2(77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(107)2(77)2(47)24，s2.【答案】(1)7(2)2小组合作型众数、中位数、平均数某工厂人员及工资构成如下表：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资/元2 2001 2501 2201 200490人数16510123(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数；(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？ 【精彩点拨】先结合众数、中位数、平均数的意义求出众数、中位数、平均数，再结合影响平均数的因素作答【尝试解答】(1)由题中表格可知：众数为1 200，中位数为1 220，平均
6、数为(2 2001 25061 22051 20010490)231 230(元/周)(2)虽然平均数为1 230元/周，但从题中表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平1众数、中位数、平均数都是刻画数据特征的，但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变，而众数、中位数不具有这个性质所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，它是样本数据的重心2在样本中出现极端值的情况下，众数、中位数更能反映样本数据的平均水平再练一题1已知一组数据按从小到大排列为1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是_，
7、平均数是_【解析】中位数为5，5，即x6.该组数据的众数为6，平均数为5.【答案】65方差和标准差甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定【精彩点拨】【尝试解答】(1)甲9910098100100103100，乙9910010299100100100，s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(10
8、2100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)由(1)知甲乙，比较它们的方差，ss，故乙机床加工零件的质量更稳定1在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定2关于统计的有关性质及规律(1)若x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mxna的平均数是ma；(2)数据x1，x2，xn与数据x1a，x2a，xna的方差相等；(3)若x1，x2，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，axn的方差为a2s2.再练一题2某校高二年级在一次数学选拔赛中，由
9、于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：甲127138130137135131乙133129138134128136求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛【解】设甲、乙两人成绩的平均数分别为甲，乙，则甲130(380751)133，乙130(318426)133，s(6)252(3)24222(2)2，s(02(4)25212(5)232.因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适频率分布直方图与数字特征的综合应用已知一组数据：1
10、25121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数累计频数频率120.5,122.5)122.5,124.5)124.5,126.5)126.5,128.5)128.5,130.5合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 【精彩点拨】将数据分组后依次填写分布表然后画出直方图，最后根据数字特征在直方图中的求法求解【尝试解答】(1)分组频数累计频数频率120.5,122.5)20.1122.5,124.5)30.15124.5,126.
11、5)80.4126.5,128.5)40.2128.5,130.530.15合计201(2)(3)在124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.52125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：121.50.1123.50.15125.50.4127.50.2129.50.15125.8，事实上平均数的精确值为125.75.1利用频率分布直方图求数字特征(1)众数是最高的矩形的底边的中点；(2)中位数左右两侧直方图的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底
12、边中点的横坐标之和2利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数再练一题3某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图2220所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：图2220(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩【解】(1)由题图可知众数为65，又第一个小矩形的面积为0.3，设中位数为60x，则0.3x0.040.5，得x5，中位数为60565.(2)依题意，平均成绩为：550
13、.3650.4750.15850.1950.0567，平均成绩约为67.探究共研型平均数、中位数、众数的特征探究1一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗？【提示】一组数据的平均数、中位数都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数探究2如何从样本的数字特征中了解数据中是否存在极端数据？【提示】中位数不受几个极端数据的影响，而平均数受每个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响越大，因此如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以了解样本数据中极端数据的信息探究3众数、中位数有哪些应用？【提示】(1)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，众数往往更能反映问题(2)中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能在所给数据中，也可能不在所
